Hückel-MO: Beispiele
Beispiel Ethen: Eigenwerte (Orbitalenergien)
Zunächst dividieren wir die Säkulardeterminante für Ethen durch β
und führen folgende Abkürzung ein:
Mit dieser Abkürzung erhält man eine zweite Schreibweise für die Säkulardeterminante des Ethen-Moleküls, welche in dieser Form auch als Hückel-Determinante bezeichnet wird. Die Ausrechnung der Hückel-Determinante führt zu einem Polynom -ten Grades, wobei die Anzahl der Basisfunktionen im LCAO-Ansatz ist (im Fall neutraler Kohlenwasserstoffe, z.B. Ethen und Butadien, ist die Anzahl der Basisfunktionen gleich der Anzahl der π-Elektronen und der Anzahl der konjugierten C-Atome):
Die Bestimmung der Nullstellen dieses Polynoms liefert die Eigenwerte (für Ethen ist = 2): = +1 → , = -1 → . Die berechneten Eigenwerte entsprechen den Energien der Hückel-Molekül-Orbitale, welche sich als Eigenvektoren des vorliegenden Eigenwertproblems ergeben (siehe nächste Seite).
Im Grundzustand von Ethen ist das energetisch niedrigste MO mit zwei Elektronen mit anti-parallelen Spins besetzt. Mit der Definition der π-Gesamtenergie folgt für Ethen im Grundzustand: .