Beispiel Ethen: Eigenwerte (Orbitalenergien)

Zunächst dividieren wir die Säkulardeterminante für Ethen durch β

$$\left|\begin{array}{cc}\alpha -\epsilon & \beta \\ \beta & \alpha -\epsilon \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\frac{\alpha -\epsilon }{\beta }& 1\\ 1& \frac{\alpha -\epsilon }{\beta }\end{array}\right|=0$$

und führen folgende Abkürzung ein:

$$x=\frac{\alpha -\epsilon }{\beta }\text{.}$$

Mit dieser Abkürzung erhält man eine zweite Schreibweise für die Säkulardeterminante des Ethen-Moleküls, welche in dieser Form auch als Hückel-Determinante bezeichnet wird. Die Ausrechnung der Hückel-Determinante führt zu einem Polynom $n$-ten Grades, wobei $n$ die Anzahl der Basisfunktionen im LCAO-Ansatz ist (im Fall neutraler Kohlenwasserstoffe, z.B. Ethen und Butadien, ist die Anzahl der Basisfunktionen gleich der Anzahl der π-Elektronen und der Anzahl der konjugierten C-Atome):

$$\left|\begin{array}{cc}x& 1\\ 1& x\end{array}\right|=x^2-1=0\text{.}$$

Die Bestimmung der $n$ Nullstellen dieses Polynoms liefert die $n$ Eigenwerte (für Ethen ist $n$ = 2): $x_1$ = +1 → ${\epsilon }_1=\alpha +\beta$, $x_2$ = -1 → ${\epsilon }_2=\alpha -\beta$. Die berechneten Eigenwerte entsprechen den Energien der Hückel-Molekül-Orbitale, welche sich als Eigenvektoren des vorliegenden Eigenwertproblems ergeben (siehe nächste Seite).

Im Grundzustand von Ethen ist das energetisch niedrigste MO mit zwei Elektronen mit anti-parallelen Spins besetzt. Mit der Definition der π-Gesamtenergie folgt für Ethen im Grundzustand: $E^{\pi }=2\alpha +2\beta$.