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Mehr-Elektronen-Atom: Hamilton-Operator

Hamilton-Operator für Mehr-Elektronen-Atome und Moleküle

Für Systeme mit mehr als einem Elektron (Mehr-Elektronen-Atome oder Moleküle) ist es nicht möglich, die Bewegung der einzelnen Elektronen exakt zu beschreiben. Neben der Wechselwirkung eines jeden Elektrons mit dem Atomkern treten zusätzliche Wechselwirkungen der Elektronen untereinander auf, so dass sich die Elektronen in ihren Bewegungen gegenseitig beeinflussen.

Folgende Abbildung zeigt das Helium-Atom mit zwei Elektronen und einem Kern (zweifach positiv geladen):

Abb.1

Kern-Elektron- bzw. Elektron-Elektron-Wechselwirkungen im Helium-Atom

Der Hamilton-Operator eines Mehr-Elektronen-Atoms ist ein Spezialfall des molekularen Hamilton-Operators mit nur einem Kern (K=1):

Molekularer Hamilton-Operator (Atome: K=1)
Der Hamilton-Operator für ein System aus K Kernen und N Elektronen kann vollständig aufgeschrieben werden:
H ˆ = 1 2 a K 1 M a Δ a 1 2 i N 1 M i Δ i i N a K Z a r a i + i < j N 1 r i j + a < b K Z a Z b R a b

Die einzelnen Terme beschreiben die kinetische Energie der Kerne bzw. der Elektronen sowie die Anteile für die potenzielle Energie der Wechselwirkungen zwischen den Kernen und Elektronen, den Elektron-Elektron- bzw. den Kern-Kern-Wechselwirkungen.

Die Berechnung der Eigenwerte und Eigenfunktionen mittels der zugehörigen Schrödinger-Gleichung stellt somit ein Vielteilchenproblem dar, das nur durch die Einführung geeigneter Näherungsverfahren gelöst werden kann.

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