zum Directory-modus

H-Atom: Normierung, Orthogonalität

Orthogonalität

Wir wollen überprüfen, ob das 1s- und das 2 p z -Orbital vom H-Atom orthogonal sind. Dazu berechnen wir das Überlappungsintegral der beiden Orbitale. Ist das Überlappungsintegral 0, so sind sie orthogonal:

Ψ m Ψ n d τ = 0 .

1s-Orbital:

Ψ 1 , 0 , 0 = 1 π a 0 3 e r / a 0

2 p z -Orbital:

Ψ 2 , 1 , 0 = 1 32 π a 0 5 r cos ϑ e r / 2 a 0

Wir setzten die Formeln für das 1s und das 2 p z -Orbital in Gleichung ein. Wenn wir in Polarkoordinaten über den gesamten Raum integrieren, erhalten wir:

I= 0 2π 0 π 0 ( 1 π a 0 3 1 32π a 0 5 e r / a 0 e r / 2 a 0 r 3 cosϑsinϑ )drdϑdϕ

Separiert man die Integrale nach den abhängigen Variablen, so erhält man:

I= 0 2π dϕ 0 π cosϑsinϑdϑ 0 1 32 π a 0 4 e 3r / 2 a 0 r 3 dr

Oder anders geschrieben: I = A B C

Mit:

A = 0 2π dϕ
B = 0 π cosϑsinϑdϑ
C = 1 32 π a 0 4 0 π e 3r / 2 a 0 r 3 dr

Nun soll untersucht werden, wie sich die einzelnen Integrale verhalten:

- Das Integral C ist auf jeden Fall von 0 verschieden.

- Das Integral A ergibt 2π.

- Wir müssen uns nun noch mit dem Integral B befassen, welches wir wie folgt berechnen:

Wir substituieren zunächst:

und erhalten aus

durch Einsetzen der Integrationsgrenzen erhalten wir:

= ½ (1 - 1) = 0

q.e.d.

Seite 3 von 4