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H-Atom: Normierung, Orthogonalität

Normierung von Atomorbitalen

Es soll untersucht werden, ob die Wellenfunktion für ein 1s-Orbital

Ψ 1 , 0 , 0 = 1 π a 0 e r a 0   ( a 0 = 52,917706 pm - Bohr'scher Radius)

normiert ist.

Dazu ist zu überprüfen, ob die Normierungsbedingung erfüllt ist, d.h. ob das Integral

| Ψ | 2 d τ = 1

ist, mit:

| Ψ | 2 = | 1 π a 0 e 2 r a 0 | .

Das Volumenelement für Kugelkoordinaten (Polarkoordinaten) lautet: d τ = r 2 sin θ d r d θ d φ (s. Krummlinige Koordinatensysteme)

Es ist also folgendes Integral zu berechnen:

ϕ θ r | 1 π a 0 e 2 r a 0 | r 2 sin θ d r d θ d ϕ ,

mit folgenden Integrationsgrenzen:

r : 0...∞,

θ : 0...π,

φ : 0...2π.

Für Mehrfachintegrale mit separierbaren Funktionen gilt allgemein:

x y z f ( x ) g ( y ) h ( z ) d z d y d x = x f ( x ) d x y g ( y ) d y z f ( z ) d z .

Auf unser Problem angewandt ergibt sich folgender Ausdruck:

ϕ d ϕ θ sin θ d θ r | 1 π a 0 e 2 r a 0 | r 2 d r entspricht: A B C

Diese Integrale werden nun einzeln berechnet:

A : 0 2 π d ϕ = ϕ | 0 2 π = 2 π 0 = 2 π ,
B : 0 π sin θ d θ = cos θ | 0 π = ( 1 ) ( 1 ) = 2 ,
C : 0 | 1 π a 0 e 2 r a 0 | r 2 d r = 1 π a 0 0 | e 2 r a 0 | r 2 d r .

Zur weiteren Lösung des letzten Integrals kommt folgende allgemeine Rekursionsformel zum Einsatz:

x n e a x d x = 1 a [ x n e a x n x n 1 e a x d x ] .

Wird das Integral | e 2 r a 0 | r 2 d r mit Hilfe dieser Rekursionsformel gelöst, so ergibt sich:

a 0 2 [ r 2 e 2 r a 0 2 r e 2 r a 0 d r ] = a 0 2 [ r 2 e 2 r a 0 2 { a 0 2 [ r e 2 r a 0 e 2 r a 0 d r ] } ] = a 0 2 [ r 2 e 2 r a 0 2 { a 0 2 [ r e 2 r a 0 ( a 0 2 ) e 2 r a 0 ] } ] = a 0 2 r 2 e 2 r a 0 + a 0 ( a 0 2 r e 2 r a 0 a 0 4 e 2 r a 0 ) = a 0 2 r 2 e 2 r a 0 a 0 2 r e 2 r a 0 a 0 4 e 2 r a 0 = e 2 r a 0 ( a 0 2 r 2 a 0 2 r a 0 4 ) .

Wird diese Lösung in <C> eingesetzt und bestimmt integriert, so ergibt sich:

1 π a 0 0 | e 2 r a 0 | r 2 d r = 1 π a 0 | a 0 2 r 2 a 0 2 r a 0 4 e 2 r a 0 | 0 .

Der Grenzwert gegen unendlich lässt sich unter Zuhilfenahme der Bernoulli-L'Hospital'schen Regel ermitteln und ist 0.

Somit folgt:

1 π a 0 0 | e 2 r a 0 | r 2 d r = 1 π a 0 | a 0 2 r 2 a 0 2 r a 0 4 e 2 r a 0 | 0 = ( 0 ( 1 ) a 0 4 ) 1 π a 0 = 1 4 π .

Setzt man nun alle Lösungen in die Gleichung ein, so ergibt sich für das Integral:

A B C = 2 π 2 1 4 π = 1 .

q.e.d.

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