Normierung von Atomorbitalen
Es soll untersucht werden, ob die Wellenfunktion für ein 1s-Orbital
normiert ist.
Dazu ist zu überprüfen, ob die Normierungsbedingung erfüllt ist, d.h. ob das
Integral
ist, mit:
Das Volumenelement für Kugelkoordinaten (Polarkoordinaten) lautet:
(s. Krummlinige Koordinatensysteme)
Es ist also folgendes Integral zu berechnen:
mit folgenden Integrationsgrenzen:
: 0...∞,
: 0...π,
: 0...2π.
Für Mehrfachintegrale mit separierbaren Funktionen gilt allgemein:
Auf unser Problem angewandt ergibt sich folgender Ausdruck:
Diese Integrale werden nun einzeln berechnet:
Zur weiteren Lösung des letzten Integrals kommt folgende allgemeine Rekursionsformel
zum Einsatz:
Wird das Integral mit Hilfe dieser Rekursionsformel gelöst, so ergibt sich:
Wird diese Lösung in <C> eingesetzt und bestimmt integriert, so ergibt
sich:
Der Grenzwert gegen unendlich lässt sich unter Zuhilfenahme der
Bernoulli-L'Hospital'schen Regel ermitteln und ist 0.
Somit folgt:
Setzt man nun alle Lösungen in die Gleichung ein, so ergibt sich für das Integral:
q.e.d.