Normierung von Atomorbitalen

Es soll untersucht werden, ob die Wellenfunktion für ein 1s-Orbital

$${\Psi }_{1,0,0}=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0}}{e}^{\raisebox{1ex}{$-r$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$a_0$}\right.}\text{\hspace{0.5em} (}{a}_0\text{= 52,917706 pm - Bohr'scher Radius)}$$

normiert ist.

Dazu ist zu überprüfen, ob die Normierungsbedingung erfüllt ist, d.h. ob das Integral

$$\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{\left|\Psi \right|}^{2}d\tau =1$$

ist, mit:

$${\left|\Psi \right|}^2=\left|\frac{1}{\pi a_0}{e}^{\raisebox{1ex}{$-2r$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$a_0$}\right.}\right|\text{.}$$

Das Volumenelement für Kugelkoordinaten (Polarkoordinaten) lautet: $d\tau =r^{2}sin\theta drd\theta d\phi$ (s. Krummlinige Koordinatensysteme)

Es ist also folgendes Integral zu berechnen:

$$\underset{\varphi }{\int }\underset{\theta }{\int }\underset{r}{\int }\left|\frac{1}{\pi a_0}{e}^{\raisebox{1ex}{$-2r$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$a_0$}\right.}\right|r^{2}sin\theta drd\theta d\varphi \text{,}$$

mit folgenden Integrationsgrenzen:

$r$: 0...∞,

$\theta$: 0...π,

$\phi$: 0...2π.

Für Mehrfachintegrale mit separierbaren Funktionen gilt allgemein:

$$\underset{x}{\int }\underset{y}{\int }\underset{z}{\int }f\left(x\right)g\left(y\right)h\left(z\right)dzdydx=\underset{x}{\int }f\left(x\right)dx\underset{y}{\int }g\left(y\right)dy\underset{z}{\int }f\left(z\right)dz\text{.}$$

Auf unser Problem angewandt ergibt sich folgender Ausdruck:

$$\begin{array}{l}\underset{\varphi }{\int }d\varphi \underset{\theta }{\int }sin\theta d\theta \underset{r}{\int }\left|\frac{1}{\pi a_0}{e}^{\raisebox{1ex}{$-2r$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$a_0$}\right.}\right|r^{2}dr\\ \text{entspricht:}\langle A\rangle \langle B\rangle \langle C\rangle \end{array}$$

Diese Integrale werden nun einzeln berechnet:

$$\langle A\rangle :\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi ={\varphi |}_0^{2\pi }=2\pi -0=2\pi \text{,}$$

$$\langle B\rangle :\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}sin\theta d\theta ={-cos\theta |}_0^{\pi }=-\left(-1\right)-\left(-1\right)=2\text{,}$$

$$\langle C\rangle :\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\left|\frac{1}{\pi a_0}{e}^{\raisebox{1ex}{$-2r$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$a_0$}\right.}\right|r^{2}dr=\frac{1}{\pi a_0}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\left|e^{\raisebox{1ex}{$-2r$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$a_0$}\right.}\right|r^{2}dr\text{.}$$

Zur weiteren Lösung des letzten Integrals kommt folgende allgemeine Rekursionsformel zum Einsatz:

$$\int x^n{e}^{ax}dx=\frac{1}{a}\left[x^n{e}^{ax}-n\int x^{n-1}{e}^{ax}dx\right]\text{.}$$

Wird das Integral $\int \left|e^{\raisebox{1ex}{$-2r$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$a_0$}\right.}\right|r^{2}dr$ mit Hilfe dieser Rekursionsformel gelöst, so ergibt sich:

$$\begin{array}{l}-\frac{a_0}{2}\left[r^2{e}^{\raisebox{1ex}{$-2r$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$a_0$}\right.}-2\int r{e}^{\raisebox{1ex}{$-2r$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$a_0$}\right.}dr\right]\\ =-\frac{a_0}{2}\left[r^2{e}^{\raisebox{1ex}{$-2r$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$a_0$}\right.}-2\left\{-\frac{a_0}{2}\left[r{e}^{\raisebox{1ex}{$-2r$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$a_0$}\right.}-\int e^{\raisebox{1ex}{$-2r$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$a_0$}\right.}dr\right]\right\}\right]\\ =-\frac{a_0}{2}\left[r^2{e}^{\raisebox{1ex}{$-2r$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$a_0$}\right.}-2\left\{-\frac{a_0}{2}\left[r{e}^{\raisebox{1ex}{$-2r$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$a_0$}\right.}-\left(-\frac{a_0}{2}\right)e^{\raisebox{1ex}{$-2r$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$a_0$}\right.}\right]\right\}\right]\\ =-\frac{a_0}{2}{r}^2{e}^{\raisebox{1ex}{$-2r$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$a_0$}\right.}+a_0\left(-\frac{a_0}{2}r{e}^{\raisebox{1ex}{$-2r$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$a_0$}\right.}-\frac{a_0}{4}{e}^{\raisebox{1ex}{$-2r$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$a_0$}\right.}\right)\\ =-\frac{a_0}{2}{r}^2{e}^{\raisebox{1ex}{$-2r$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$a_0$}\right.}-\frac{a_0}{2}r{e}^{\raisebox{1ex}{$-2r$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$a_0$}\right.}-\frac{a_0}{4}{e}^{\raisebox{1ex}{$-2r$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$a_0$}\right.}\\ =e^{\raisebox{1ex}{$-2r$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$a_0$}\right.}\left(-\frac{a_0}{2}{r}^2-\frac{a_0}{2}r-\frac{a_0}{4}\right)\end{array}\text{.}$$

Wird diese Lösung in <C> eingesetzt und bestimmt integriert, so ergibt sich:

$$\frac{1}{\pi a_0}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\left|e^{\raisebox{1ex}{$-2r$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$a_0$}\right.}\right|r^{2}dr=\frac{1}{\pi a_0}{\left|\frac{-\frac{a_0}{2}{r}^2-\frac{a_0}{2}r-\frac{a_0}{4}}{e^{\raisebox{1ex}{$2r$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$a_0$}\right.}}\right|}_0^{\infty }\text{.}$$

Der Grenzwert gegen unendlich lässt sich unter Zuhilfenahme der Bernoulli-L'Hospital'schen Regel ermitteln und ist 0.

Somit folgt:

$$\frac{1}{\pi a_0}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\left|e^{\raisebox{1ex}{$-2r$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$a_0$}\right.}\right|r^{2}dr=\frac{1}{\pi a_0}{\left|\frac{-\frac{a_0}{2}{r}^2-\frac{a_0}{2}r-\frac{a_0}{4}}{e^{\raisebox{1ex}{$2r$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$a_0$}\right.}}\right|}_0^{\infty }=\left(0-\left(-1\right)\frac{a_0}{4}\right)\frac{1}{\pi a_0}=\frac{1}{4\pi }\text{.}$$

Setzt man nun alle Lösungen in die Gleichung ein, so ergibt sich für das Integral:

$$\langle A\rangle \langle B\rangle \langle C\rangle =2\pi \cdot 2\cdot \frac{1}{4\pi }=1\text{.}$$

q.e.d.