Normierung und Orthogonalität der Eigenfunktionen

Alle Eigenfunktionen eines Eigenwertproblems sind jeweils normiert. Es gilt also:

$$\langle {\Psi }_{nlm}|{\Psi }_{nlm}\rangle =1$$

das gilt für alle Quantenzahlen-Tripel: $n$, $l$ und $m$. Siehe Beispiel Normierung 1s-Orbital !

Die einzelnen Lösungen sind weiterhin zueinander orthogonal:

$$\langle {\Psi }_{nlm}|{\Psi }_{n\text{'}l\text{'}m\text{'}}\rangle =0$$

für den Fall, dass mindestens eine der Quantenzahlen unterschiedlich ist. Siehe Beispiel Orthogonalität 1s-2${\text{p}}_{\text{z}}$-Orbital !

Beide Beziehungen lassen sich zur Orthonormierungsbeziehung zusammenfassen:

$$\begin{array}{l}\langle {\Psi }_{nlm}|{\Psi }_{nlm}\rangle =1\\ \langle {\Psi }_{nlm}|{\Psi }_{n\text{'}l\text{'}m\text{'}}\rangle ={\delta }_{nn\text{'}}\cdot {\delta }_{ll\text{'}}\cdot {\delta }_{mm\text{'}}\end{array}$$

Dabei ist ${\delta }_{\mathrm{ij}}$ das Kronecker-Symbol: ${\delta }_{\mathrm{ij}}$ = 1 für i = j, ${\delta }_{\mathrm{ij}}$ = 0 für i ≠ j.