Radial-Dichtefunktionen

Zur Betrachtung der radialen Abhängigkeit der Aufenthaltswahrscheinlichkeit kann man über die Winkel-Abhängigkeit integrieren. In Polarkoordinaten folgt:

$$W=\underset{r}{\int }\underset{\delta }{\int }\underset{\varphi }{\int }{R}^2{Y}^2{r}^{2}sin\delta drd\delta \text{d}\varphi$$

$$W=\underset{r}{\int }{R}^2{r}^{2}dr\underset{\delta }{\int }\underset{\varphi }{\int }{Y}^{2}sin\delta d\delta \text{d}\varphi$$

mit

$$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}sin\delta \text{d}\delta \text{= 2}$$

und

$$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\text{d}\varphi \text{= 2}\pi$$

Für normierte Winkelfunktionen ist $\langle Y|Y\rangle =1$. Somit folgt für die radiale Abhängigkeit die Radial-Dichtefunktion $D\left(r\right)$:

$$W\left(r\right)=4\pi \underset{r}{\int }{r}^2{R}^{2}dr$$

$$W\left(r_1-r_2\right)=4\pi \underset{r_1}{\overset{r_2}{\int }}{r}^2{R}^{2}dr$$

$$D\left(r\right)=\frac{dW\left(r\right)}{dr}=4\pi r^2{R}^2$$

$$W\left(r_1-r_2\right)=\underset{r_1}{\overset{r_2}{\int }}D\left(r\right)dr$$

$$W\left(0-\infty \right)=\underset{r_1=0}{\overset{r_2=\infty }{\int }}D\left(r\right)dr=1$$

Das heißt: die Fläche unter der Radial-Dichtefunktion ist gleich 1.