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H-Atom: Wahrscheinlichkeit und Radial-Dichteverteilung

Dichtefunktion

Die Eigenfunktionen des H-Atoms wurden als exakte analytische Lösungen der Ein-Teilchen-Schrödinger-Gleichung erhalten. Zur Darstellung der Wellenfunktionen in Polarkoordinaten betrachtet man den Radialteil R und die Winkelfunktion Y getrennt. Die Abhängigkeit der Elektronenverteilung im Abstand r vom Kern wird am augenfälligsten durch die Dichtefunktion D ( r ) angegeben. Sie enthält die Elektronendichte einer Kugelschale mit dem Radius r . Integriert man über die gesamte Kugel vom Radius r mit Y l m | Y l m , so erhält man D ( r ) = r 2 [ R n l ( r ) ] 2 .

Je größer die Hauptquantenzahl n , desto weiter außen liegt das höchste Maximum der Dichtefunktion. Mit steigender Nebenquantenzahl zieht sich die Dichtefunktion etwas zusammen.

Die folgende Tabelle zeigt die Lage der Maxima und Minima von D ( r ) im Wasserstoff-Atom (in atomaren Einheiten):

Tab.1
  1. Maximum 1. Minimum 2. Maximum 2. Minimum 3. Maximum 3. Minimum 4. Maximum
  1s 1
  2s 0,76 2,0 5,24
  2p 4
  3s 0,758 1,27 4,19 4,73 13,06
  3p 3 4 12
  3d 9
  4s 0,732 1,88 4 6,61 10,65 15,52 24,62
  4p 2,808 5,52 9,59 14,48 23,58
  4d 6,78 12 21,22
  4f 16

Folgende Abbildung zeigt als Beispiel die Radialdichtefunktion D ( r ) für das 1s-Orbital des Wasserstoff-Atoms mit einem Maximum bei 1 a 0 (d.h. beim Bohr'schen Radius mit a 0 = 0,529 10 - 10 m ).

Abb.1
Radial-Dichtefunktion für das 1s-Orbital des Wasserstoff-Atoms

Weitere Funktionen findet man in der Literatur (z. B. Atkins).

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