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H-Atom: Winkelanteil, Eigenwerte und Energie

Graphische Darstellung der Winkelanteile

Zur Darstellung der Kugelfunktion/Winkelfunktion Y l m betrachtet man Schnitte durch den Kugelmittelpunkt.

  • Y 00 stellt eine Kugel dar. Ein beliebiger Schnitt bildet stets einen Kreis.
  • Y 10 : Schnitt in xz- oder yz-Ebene ergibt eine Hantel, deren Teile bis auf das Vorzeichen gleiche Kreise sind.
  • Y 11 : Ein Schnitt in xy-Ebene ergibt die gleiche Figur wie für Y 10 , nur dass die Hanteln in x- bzw. y-Richtung orientiert sind ( m = ±1)
  • Y 20 : Ein beliebiger Schnitt, der die z-Achse enthält, zeigt, dass diese Funktion einen "Doppelkolben" mit einem "Kragen" darstellt, der ein anderes Vorzeichen hat. Die Knotenfläche zwischen Kolben und Kragen sind zwei auf der Spitze stehende Kegel.

Y 21 ( m = ±1) und Y 22 ( m = ±2) bilden bei Schnitten in den angegebenen Ebenen stets Kleeblatt-Figuren, bei denen die einzelnen Funktionsteile ihr Vorzeichen wechseln.

Die Winkelfunktionen Y l m sind für verschiedene m entartet. Daher ist es üblich, Linearkombinationen der nicht-reellen Winkelfunktionen (z.B. Y 11 und Y 1-1 ) zu bilden, welche dann reell sind.

Hinweis
Linearkombinationen von entarteten Eigenfunktionen sind wiederum Eigenfunktionen zum gleichen Eigenwert.

Nur 4 der 5 durch Linearkombination erhaltenen d-Funktionen haben die gleiche Form. Man könnte aber auch 5 gleichförmige d-Funktionen konstruieren, deren mathematische Formen dann aber wesentlich komplizierter wären.

s-Winkelanteil: Y 00
p z -Winkelanteil Y 10
p x -Winkelanteil: LK aus Y 11 und Y 1-1
p y -Winkelanteil: LK aus Y 11 und Y 1-1
d z 2 -Winkelanteil: Y 20
d x z -Winkelanteil: LK aus Y 21 u. Y 2-1
d y z -Winkelanteil: LK aus Y 21 u. Y 2-1
d x y -Winkelanteil: LK aus Y 22 u. Y 2-2
d x 2 - y 2 -Winkelanteil: LK aus Y 22 u. Y 2-2
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