H-Atom: Winkelanteil, Eigenwerte und Energie
Graphische Darstellung der Winkelanteile
Zur Darstellung der Kugelfunktion/Winkelfunktion betrachtet man Schnitte durch den Kugelmittelpunkt.
- stellt eine Kugel dar. Ein beliebiger Schnitt bildet stets einen Kreis.
- : Schnitt in xz- oder yz-Ebene ergibt eine Hantel, deren Teile bis auf das Vorzeichen gleiche Kreise sind.
- : Ein Schnitt in xy-Ebene ergibt die gleiche Figur wie für , nur dass die Hanteln in x- bzw. y-Richtung orientiert sind ( = ±1)
- : Ein beliebiger Schnitt, der die z-Achse enthält, zeigt, dass diese Funktion einen "Doppelkolben" mit einem "Kragen" darstellt, der ein anderes Vorzeichen hat. Die Knotenfläche zwischen Kolben und Kragen sind zwei auf der Spitze stehende Kegel.
( = ±1) und ( = ±2) bilden bei Schnitten in den angegebenen Ebenen stets Kleeblatt-Figuren, bei denen die einzelnen Funktionsteile ihr Vorzeichen wechseln.
Die Winkelfunktionen sind für verschiedene entartet. Daher ist es üblich, Linearkombinationen der nicht-reellen Winkelfunktionen (z.B. und ) zu bilden, welche dann reell sind.
- Hinweis
- Linearkombinationen von entarteten Eigenfunktionen sind wiederum Eigenfunktionen zum gleichen Eigenwert.
Nur 4 der 5 durch Linearkombination erhaltenen d-Funktionen haben die gleiche Form. Man könnte aber auch 5 gleichförmige d-Funktionen konstruieren, deren mathematische Formen dann aber wesentlich komplizierter wären.