Graphische Darstellung der Winkelanteile

Zur Darstellung der Kugelfunktion/Winkelfunktion $Y_{lm}$ betrachtet man Schnitte durch den Kugelmittelpunkt.

• $Y_{00}$ stellt eine Kugel dar. Ein beliebiger Schnitt bildet stets einen Kreis.
• $Y_{10}$: Schnitt in xz- oder yz-Ebene ergibt eine Hantel, deren Teile bis auf das Vorzeichen gleiche Kreise sind.
• $Y_{11}$: Ein Schnitt in xy-Ebene ergibt die gleiche Figur wie für $Y_{10}$, nur dass die Hanteln in x- bzw. y-Richtung orientiert sind ($m$ = ±1)
• $Y_{20}$: Ein beliebiger Schnitt, der die z-Achse enthält, zeigt, dass diese Funktion einen "Doppelkolben" mit einem "Kragen" darstellt, der ein anderes Vorzeichen hat. Die Knotenfläche zwischen Kolben und Kragen sind zwei auf der Spitze stehende Kegel.

$Y_{21}$ ($m$ = ±1) und $Y_{22}$ ($m$ = ±2) bilden bei Schnitten in den angegebenen Ebenen stets Kleeblatt-Figuren, bei denen die einzelnen Funktionsteile ihr Vorzeichen wechseln.

Die Winkelfunktionen $Y_{lm}$ sind für verschiedene $m$ entartet. Daher ist es üblich, Linearkombinationen der nicht-reellen Winkelfunktionen (z.B. $Y_{11}$ und $Y_{\mathrm{1-1}}$) zu bilden, welche dann reell sind.

Hinweis

Linearkombinationen von entarteten Eigenfunktionen sind wiederum Eigenfunktionen zum gleichen Eigenwert.

Nur 4 der 5 durch Linearkombination erhaltenen d-Funktionen haben die gleiche Form. Man könnte aber auch 5 gleichförmige d-Funktionen konstruieren, deren mathematische Formen dann aber wesentlich komplizierter wären.