Der Winkelanteil beim H-Atom: Kugelfunktionen

Wir führten folgenden Separationsansatz durch (siehe Seite):

$$\Psi \left(r\text{,}\theta \text{,}\phi \right)=R\left(r\right)·Y\left(\theta \text{,}\phi \right)\text{,}$$

wobei $R\left(r\right)$ der Radialanteil und $Y\left(\theta \text{,}\phi \right)$ die winkelabhängige Kugelfunktion war. $Y\left(\theta \text{,}\phi \right)$ ist Eigenfunktion zum Quadrat des Drehimpulsoperators $L^2$:

$$L^2{Y}_{l,m}\left(\theta ,\varphi \right)={\hslash }^{2}l(l+1)Y_{l,m}\left(\theta ,\varphi \right),l=0,1,2,...\text{.}$$

und zugleich Eigenfunktionen zur $z$-Komponente des Drehimpulses $L_z=-\frac{\hslash }{i}\frac{\delta }{\delta \varphi }$ (in Polarkoordinaten):

$$L_z{Y}_{l,m}\left(\theta ,\varphi \right)=\hslash m{Y}_{l,m}\left(\theta ,\varphi \right),m=l,l-1,...,-l\text{.}$$