Orbitalenergien und spektrale Eigenschaften

Bildet man den Erwartungswert zum Hamilton-Operator, d.h. den Erwartungswert der Energie, so zeigt sich, dass dieser nur durch die Hauptquantenzahl $n$ bestimmt wird, aber nicht durch die Neben- und Orientierungsquantenzahlen $l$ und $m$ beeinflusst wird.

Hinweis

Bei Mehr-Elektronen-Atomen ergibt sich ein leichter Einfluss von $l$.

Für den Erwartungswert der Energie gilt:

$$\langle {\Psi }_{nm}\left|\overline{H}\right|{\Psi }_{nm}\rangle =E_n$$

$$E_n=\frac{m_m{e}^{4}2{\pi }^2}{h^3\left(1+\frac{m_{\rho \text{'}}}{m_K}\right)}\cdot \frac{1}{n^2}$$

$$E_n=-R_{H}hc\frac{1}{n^2}$$

Dabei ist $R_H$ = 13,60 eV = 1/2 Hartree = 109737,31476(32) $c{m}^{-1}$ die Rydberg-Konstante.

Das Wasserstoff-Spektrum ergibt sich mit der Bohr'schen Frequenzbeziehung

$$\Delta E=h\nu$$

nach folgender Serienformel:

$$\tilde{\nu }=\frac{\Delta E}{hc}=R_H\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n_1^2}\right)\text{.}$$