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H-Atom: Radial-Anteil, Lösungsweg und Ergebnisse

Orbitalenergien und spektrale Eigenschaften

Bildet man den Erwartungswert zum Hamilton-Operator, d.h. den Erwartungswert der Energie, so zeigt sich, dass dieser nur durch die Hauptquantenzahl n bestimmt wird, aber nicht durch die Neben- und Orientierungsquantenzahlen l und m beeinflusst wird.

Hinweis
Bei Mehr-Elektronen-Atomen ergibt sich ein leichter Einfluss von l .

Für den Erwartungswert der Energie gilt:

Ψ n m | H ¯ | Ψ n m = E n
E n = m m e 4 2 π 2 h 3 ( 1 + m ρ ' m K ) 1 n 2
E n = R H h c 1 n 2

Dabei ist R H = 13,60 eV = 1/2 Hartree = 109737,31476(32) c m 1 die Rydberg-Konstante.

Das Wasserstoff-Spektrum ergibt sich mit der Bohr'schen Frequenzbeziehung

Δ E = h ν

nach folgender Serienformel:

ν ˜ = Δ E h c = R H ( 1 n 2 1 n 1 2 ) .
Tab.1
Serien im Wasserstoff-Spektrum
  Ausgangsterm n 1 Endterm n Name der Serie Ionisierungsgrenze
  > 1 1 Lyman 13,6
  > 2 2 Balmer 3,4
  > 3 3 Paschen 1,51
  > 4 4 Brackett 0,85
  > 5 5 Pfund 0,54
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