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H-Atom: Radial-Anteil, Lösungsweg und Ergebnisse

Radiale Eigenfunktionen

Die radialen Eigenfunktionen (gebundene Zustände) ergeben sich als Lösung der radialen Schrödinger-Gleichung. Die analytischen Lösungen für das H-Atom lauten:

R n l ( r ) = N n l ( 2 Z r n a ) l e Z r / n a R n + l 2 l + 1 ( 2 Z r n a ) ,

N n l : Normierungskonstante a = 4 π ε 0 2 μ e 2 : Bohrscher Radius, wenn μ (reduzierte Masse) = Masse des Elektrons R n + l 2 l + 1 : zugeordnetes Laguerre-Polynom n = 1, 2, ... : Hauptquantenzahl l = 0, 1, ..., n-1: Nebenquantenzahl

Einige explizite Ausdrücke für radiale Wellenfunktionen (nach Atkins und Friedman) sind unten gezeigt. Dabei gilt ρ = ( 2 Z / n a ) r :

R 10 = 2 ( Z a ) 3 / 2 e Z r / a = 2 ( Z a ) 3 / 2 e ρ / 2
R 20 = 1 2 2 ( Z a ) 3 / 2 ( 2 Z r a ) e Z r / 2 a = 1 2 2 ( Z a ) 3 / 2 ( 2 ρ ) e ρ / 2
R 21 = 1 2 6 ( Z a ) 5 / 2 r e Z r / 2 a = 1 2 6 ( Z a ) 3 / 2 ρ e ρ / 2

Weitere Formeln sind z.B. in Atkins und Friedman (siehe Literatur) enthalten.

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