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H-Atom: Radial-Anteil, Lösungsweg und Ergebnisse

Lösungen der radialen Schrödinger-Gleichung: Gebundene Zustände

Im Folgenden interessieren uns nur die gebundenen Zustände (das Elektron bewegt sich also nicht frei, sondern ist an den Kern gebunden). Die Energien von gebundenen Zuständen erhält man durch Lösen der radialen Schrödinger-Gleichung.

Die Lösungen der radialen Schrödingergleichung (Differentialgleichung) waren den Mathematikern schon lange bekannt. "Dies war Schrödinger 1925 nicht bekannt, und so hat er die Lösung mit Hilfe des Mathematikers Weyl selbst hergeleitet" (nach H. Primas und U. Müller-Herold).

E = - 1 2 Z 2 n 2 E h ,

mit

E h = m e e 4 2 ( 4 π ε 0 ) = 27,21 eV (= 1 Hartree).

Für das H-Atom beträgt die Kernladungszahl Z = 1 . Die Energie des Wasserstoff-Atoms hängt überraschenderweise nur von der Quantenzahl n (und nicht von l ) ab: E ~ 1 n 2 . (Dagegen hängen die Eigenfunktionen von beiden Quantenzahlen ab)

Aus der Energieformel folgt: Die Abstände zwischen zwei benachbarten Energieniveaus nehmen mit zunehmendem n ab. Zum Beispiel ist der Abstand zwischen den Niveaus n 1 und n 2 größer als der Abstand zwischen den Niveaus n 2 und n 3 .

Abb.1
Energien beim H-Atom: E < 0: diskretes Spektrum, E > 0: kontinuierliches Spektrum
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