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H-Atom: Separieren der Schrödinger-Gleichung

Separation der Schrödinger-Gleichung in Radial- und Winkelanteil

Die Bewegung des Elektrons im Wasserstoff-Atom ist kugelsymmetrisch. Somit ist das Potenzial kugelförmig und wir verwenden für die Beschreibung zweckmäßigerweise Kugelkoordinaten (Polarkoordinaten). Wir versuchen zunächst die Wellenfunktion:

Ψ ( x , y , z ) = Ψ ( r , θ , φ )

aufzuteilen in einen Teil, der nur vom Abstand r abhängt, und einen anderen Teil, der nur von den Winkeln θ und φ abhängt.

Bei r handelt es sich um den Betrag des Vektors der Relativkoordinaten ( r = | r | ). Es wird also nur die Relativbewegung behandelt. Die Translation des Schwerpunktes interessiert hier nicht.

Wir wollen nun die Schrödinger-Gleichung für die Relativbewegung in den neuen Koordinaten ( r , θ , φ ) darstellen. Dazu ist eine Transformation des Laplace-Operators Δ r in Polarkoordinaten notwendig. Es ist eine längere Umformung nötig, die nicht zum Verständnis der Quantentheorie beiträgt und deshalb hier nicht gezeigt werden soll. Als Ergebnis erhält man schließlich die Schrödinger-Gleichung für die Relativbewegung in Polarkoordinaten:

[ - 2 2 μ ( δ 2 δ r 2 + 2 r δ δ r ) + 1 2 μ r 2 L 2 + V ( r ) ] Ψ = E Ψ .

Dabei ist

L 2 = - 2 [ 1 sin θ δ δ θ ( sin θ δ δ θ ) + 1 sin 2 θ δ 2 δ φ 2 ]

der Drehimpulsoperator zum Quadrat.

Wir führen folgenden Separationsansatz durch:

Ψ ( r , θ , φ ) = R ( r ) · Y ( θ , φ )

Hierbei ist R ( r ) die Radialfunktion und Y ( θ , φ ) die winkelabhängige Kugelflächenfunktion, die Eigenfunktion zum Quadrat des Drehimpulsoperators L 2 ist:

L 2 Y l , m ( θ , ϕ ) = 2 l ( l + 1 ) Y l , m ( θ , ϕ ) , l = 0 , 1 , 2 , ... .

Die Kugelfunktionen sind gleichzeitig Eigenfunktionen zur z -Komponente des Drehimpulses L z = i δ δ ϕ (in Polarkoordinaten):

L z Y l , m ( θ , ϕ ) = m Y l , m ( θ , ϕ ) , m = l , l 1 , ... , l

Verwendung der winkelabhängigen Gleichung überführt in die Radiale Schrödinger-Gleichung:

[ - 2 2 μ ( δ 2 δ r 2 + 2 r δ δ r ) + 2 2 μ r 2 l ( l + 1 ) + V ( r ) ] R ( r ) = E R ( r )

mit

V ( r ) = - 1 4 π ε 0 q 2 r .

Neben der Nebenquantenzahl l und der Orientierungs-Quantenzahl m , die beide von der Winkelabhängigkeit herrühren, werden die Lösungen für das Wasserstoff-Atom durch eine dritte Quantenzahl, die Hauptquantenzahl n , bestimmt. Die Energie-Eigenwerte des Wasserstoff-Atoms, die sich als Lösung der Radialen Schrödinger-Gleichung ergeben, hängen allein von n ab, d.h. Eigenfunktionen mit gleichem n , aber unterschiedlichen l und m sind beim Wasserstoffatom entartet. Die Lösung der radialen Schrödinger-Gleichung wird in einer anderen Lerneinheit besprochen.

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