Polarkoordinatensystem

Der Zusammenhang zwischen kartesischen Koordinaten ${\displaystyle \left(x\text{,}y\text{,}z\right)}$ und Polarkoordinaten ${\displaystyle \left(r\text{,}\theta \text{,}\phi \right)}$ ist in folgendem Bild dargestellt:

Man erhält

${\displaystyle x=r·sin\theta ·cos\phi }$

${\displaystyle y=r·sin\theta ·sin\phi }$

${\displaystyle z=r·cos\theta }$

und für das Volumenelement gilt:

$${\displaystyle d\tau =dxdydz=r^{2}sin\theta drd\theta d\varphi }$$

wobei die Koordinate r den Abstand des Raumpunktes vom Koordinatenursprung darstellt, θ den Winkel zwischen r und der z-Achse kennzeichnet und j der Winkel zwischen der x-Achse und der Projektion auf die x-y-Ebene ist. Durch die Festlegung der Wertebereiche der Polarkoordinaten

$${\displaystyle 0\le r_{\infty },0\le \varphi <2\pi ,0\le \theta \le \pi }$$

lassen sich alle Punkte des Raumes eindeutig zuordnen.