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H-Atom: Separieren der Schrödinger-Gleichung

Polarkoordinatensystem

Der Zusammenhang zwischen kartesischen Koordinaten ( x , y , z ) und Polarkoordinaten ( r , θ , φ ) ist in folgendem Bild dargestellt:

Abb.1
Polarkoordinaten

Man erhält

x = r · sin θ · cos φ

y = r · sin θ · sin φ

z = r · cos θ

und für das Volumenelement gilt:

d τ = d x d y d z = r 2 sin θ d r d θ d ϕ

wobei die Koordinate r den Abstand des Raumpunktes vom Koordinatenursprung darstellt, θ den Winkel zwischen r und der z-Achse kennzeichnet und j der Winkel zwischen der x-Achse und der Projektion auf die x-y-Ebene ist. Durch die Festlegung der Wertebereiche der Polarkoordinaten

0 r , 0 ϕ < 2 π , 0 θ π

lassen sich alle Punkte des Raumes eindeutig zuordnen.

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