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H-Atom: Schrödinger-Gleichung aufstellen

Separation in Schwerpunkts- und Relativbewegung

Die Wellenfunktion S ( r S ) hänge nur von r S (Schwerpunktskoordinaten, Translationsbewegung des Gesamtsystems) und die Wellenfunktion Ψ ( r ) nur von r (Relativkoordinaten, Relativbewegung von Proton und Elektron gegeneinander) ab. Mit dem Separationsansatz

Φ ( r S , r ) = S ( r S ) · Ψ ( r )

gehen wir in die Schrödinger-Gleichung des Wasserstoff-Atoms, H Φ = E tot Φ . Nach Division durch

S ( r S ) · Ψ ( r )

erhält man:

1 S ( r S ) [ - 2 2 M Δ S ] S ( r S ) = 1 Ψ ( r ) [ + 2 2 μ Δ r - V ( r ) + E tot ] Ψ ( r ) .

Wir stellen fest: Die linke Seite der letzten Gleichung hängt nur von den Schwerpunktskoordinaten und die rechte Seite nur von den Relativkoordinaten ab. Um für alle Werte der Schwerpunktskoordinaten und der Relativkoordinaten gültig zu sein, müssen beide Gleichungen gleich einer Konstanten sein. Von der linken Seite der Gleichung folgt, dass diese Konstante gleich der kinetischen Energie des Schwerpunktes T S sein muss. Damit erhält man zwei Gleichungen:

[ - 2 2 M Δ S ] S ( r S ) = T S · S ( r S )

und

[ + 2 2 μ Δ r - V ( r ) + E tot ] Ψ ( r ) = T S Ψ ( r ) .

Umstellen der letzten Gleichung führt zur Schrödinger-Gleichung für die Relativbewegung ("elektronische" Schrödinger-Gleichung):

[ - 2 2 μ Δ r + V ( r ) ] Ψ ( r ) = ( E tot - T S ) E Ψ ( r ) .

Dabei ist E = E tot - T S die Energie der Relativbewegung. Da wir uns beim Wasserstoff-Atom nur für die Relativbewegung von Proton und Elektron interessieren, wurde hier das Problem der Bewegung zweier wechselwirkender Teilchen auf die Bewegung eines fiktiven Teilchens der Masse μ (Relativbewegung von Proton und Elektron gegeneinander, Gleichung ) und die translatorische Bewegung eines freien Teilchens der Masse M (Translationsbewegung des Gesamtsystems, Gleichung ) reduziert. Mit anderen Worten: das Zwei-Teilchen-Problem wurde auf zwei Ein-Teilchen-Probleme zurückgeführt.

Der nächste Schritt besteht in der Lösung der Schrödinger-Gleichung für die Relativbewegung. Dies geschieht in einer anderen Lerneinheit. Dort erfolgt eine weitere Separation der Relativbewegung, indem man für die Darstellung der Relativkoordinaten r von kartesischen Koordinaten ( x , y , z ) zu problemangepassten sphärischen Koordinaten ( | r | , θ , φ ) übergeht.

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