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Chemische Bindung: Wasserstoff-Molekül-Ion, LCAO-Ansatz

MO-Betrachtung des Wasserstoff-Molekül-Ions H2+

Das H2+-Molekül-Ion besitzt nur ein Elektron, welches sich im Anziehungsbereich der beiden Protonen befindet. Als Ein-Elektronen-System ist die Schrödinger-Gleichung dafür exakt lösbar. Die Schrödinger-Gleichung (in atomaren Einheiten) lautet:

1 2 Δ Ψ ( 1 r a + 1 r b ) Ψ = E Ψ .

Dabei sind: r a , r b Abstand zwischen Kern a bzw. b und Elektron R     Abstand der beiden Kerne voneinander

Für festgehaltene Kerne (Born-Oppenheimer-Näherung) arbeitet man mit elliptischen Koordinaten:

μ = 1 R ( r a + r b ) ν = 1 R ( r a + r b ) ϕ = arctan ( y x )       (Der Drehwinkel um die Kernverbindungslinie.)

Mit dem Separationsansatz Ψ ( μ , ν , ϕ ) = Μ ( μ ) Ν ( ν ) Φ ( ϕ ) gelingt die Lösung. Der Φ-Anteil ist identisch zum Ein-Zentren-Problem vom H-Atom. Aus der Separationskonstante folgt dieQuantenzahl λ = 0, 1, 2, 3 usw. Sie wird Achsen-Quantenzahl genannt und das sie besetzende Elektron heißt dann (in Analogie zum Atom: l = s, p, d) σ -, π -, δ - Elektron. Damit ist λ die Zahl der ebenen Knoten durch die Kernverbindungslinie (Achse der Bindung) und bestimmt somit deren Symmetrie. Dies ist völlig analog zur Nebenquantenzahl l beim Wasserstoff-Atom. Die Lösungen der anderen Differentialgleichungen sind sehr kompliziert und führen zu Ausdrücken für die Eigenwerte, die nicht in analytischer Form angegeben werden können. Die Bindungen von Mehr-Elektronen-Systemen in zweiatomigen Molekülen ( H 2 , N 2 , O 2 , F 2 , oder z.B. CO ) können bezüglich der Symmetrie wie oben beschrieben werden. Aus der exakten Lösung der Schrödinger-Gleichung kann eine genäherte Beschreibung (LCAO-Näherung) abgeleitet werden.

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