MO-Betrachtung des Wasserstoff-Molekül-Ions H₂⁺

Das H₂⁺-Molekül-Ion besitzt nur ein Elektron, welches sich im Anziehungsbereich der beiden Protonen befindet. Als Ein-Elektronen-System ist die Schrödinger-Gleichung dafür exakt lösbar. Die Schrödinger-Gleichung (in atomaren Einheiten) lautet:

$$-\frac{1}{2}\Delta \Psi -\left(\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}\right)\Psi =E\Psi \text{.}$$

Dabei sind: $r_a$, $r_b$ Abstand zwischen Kern a bzw. b und Elektron $R$     Abstand der beiden Kerne voneinander

Für festgehaltene Kerne (Born-Oppenheimer-Näherung) arbeitet man mit elliptischen Koordinaten:

$\mu =\frac{1}{R}(r_a+r_b)$ $\nu =\frac{1}{R}(r_a+r_b)$ $\varphi =arctan(\frac{y}{x})$       (Der Drehwinkel um die Kernverbindungslinie.)

Mit dem Separationsansatz $\Psi (\mu ,\nu ,\varphi )={\rm M}(\mu )\cdot {\rm N}(\nu )\cdot \Phi (\varphi )$ gelingt die Lösung. Der Φ-Anteil ist identisch zum Ein-Zentren-Problem vom H-Atom. Aus der Separationskonstante folgt dieQuantenzahl λ = 0, 1, 2, 3 usw. Sie wird Achsen-Quantenzahl genannt und das sie besetzende Elektron heißt dann (in Analogie zum Atom: l = s, p, d) σ -, π -, δ - Elektron. Damit ist λ die Zahl der ebenen Knoten durch die Kernverbindungslinie (Achse der Bindung) und bestimmt somit deren Symmetrie. Dies ist völlig analog zur Nebenquantenzahl l beim Wasserstoff-Atom. Die Lösungen der anderen Differentialgleichungen sind sehr kompliziert und führen zu Ausdrücken für die Eigenwerte, die nicht in analytischer Form angegeben werden können. Die Bindungen von Mehr-Elektronen-Systemen in zweiatomigen Molekülen (${\text{H}}_2$, ${\text{N}}_2$, ${\text{O}}_2$, ${\text{F}}_2$, oder z.B. $\text{CO}$) können bezüglich der Symmetrie wie oben beschrieben werden. Aus der exakten Lösung der Schrödinger-Gleichung kann eine genäherte Beschreibung (LCAO-Näherung) abgeleitet werden.