Chemische Bindung: Wasserstoff-Molekül-Ion, LCAO-Ansatz
MO-Betrachtung des Wasserstoff-Molekül-Ions H2+
Das H2+-Molekül-Ion besitzt nur ein Elektron, welches sich im Anziehungsbereich der beiden Protonen befindet. Als Ein-Elektronen-System ist die Schrödinger-Gleichung dafür exakt lösbar. Die Schrödinger-Gleichung (in atomaren Einheiten) lautet:
Dabei sind: , Abstand zwischen Kern a bzw. b und Elektron Abstand der beiden Kerne voneinander
Für festgehaltene Kerne (Born-Oppenheimer-Näherung) arbeitet man mit elliptischen Koordinaten:
(Der Drehwinkel um die Kernverbindungslinie.)
Mit dem Separationsansatz gelingt die Lösung. Der Φ-Anteil ist identisch zum Ein-Zentren-Problem vom H-Atom. Aus der Separationskonstante folgt dieQuantenzahl λ = 0, 1, 2, 3 usw. Sie wird Achsen-Quantenzahl genannt und das sie besetzende Elektron heißt dann (in Analogie zum Atom: l = s, p, d) σ -, π -, δ - Elektron. Damit ist λ die Zahl der ebenen Knoten durch die Kernverbindungslinie (Achse der Bindung) und bestimmt somit deren Symmetrie. Dies ist völlig analog zur Nebenquantenzahl l beim Wasserstoff-Atom. Die Lösungen der anderen Differentialgleichungen sind sehr kompliziert und führen zu Ausdrücken für die Eigenwerte, die nicht in analytischer Form angegeben werden können. Die Bindungen von Mehr-Elektronen-Systemen in zweiatomigen Molekülen (, , , , oder z.B. ) können bezüglich der Symmetrie wie oben beschrieben werden. Aus der exakten Lösung der Schrödinger-Gleichung kann eine genäherte Beschreibung (LCAO-Näherung) abgeleitet werden.