Abhängigkeit des Dampfdrucks von der Temperatur

Bei der Temperatur $\mathit{T}$ und dem Druck $\mathit{p}$ seien die chemischen Potenziale der Phasen $\alpha$ und $\beta$ gleich groß, d.h. die beiden Phasen stehen im Gleichgewicht.

$${\mu }^{\alpha }(\mathit{p},\mathit{T})={\mu }^{\beta }(\mathit{p},\mathit{T})$$

Bei einer Änderung von Druck und Temperatur gilt für die Phasen $\alpha$ bzw. $\beta$:

$${\mu }^{\alpha }+\text{d}{\mu }^{\alpha }={\mu }^{\alpha }(\mathit{p},\mathit{T})+{\left(\frac{\partial {\mu }^{\alpha }}{\partial \mathit{p}}\right)}_{\mathit{T}}\cdot \text{d}\mathit{p}+{\left(\frac{\partial {\mu }^{\alpha }}{\partial \mathit{T}}\right)}_{\mathit{p}}\cdot \text{d}\mathit{T}={\mu }^{\alpha }(\mathit{p},\mathit{T})+v^{\alpha }\cdot \text{d}\mathit{p}+s^{\alpha }\cdot \text{d}\mathit{T}$$

$${\mu }^{\beta }+\text{d}{\mu }^{\beta }={\mu }^{\beta }(\mathit{p},\mathit{T})+{\left(\frac{\partial {\mu }^{\beta }}{\partial \mathit{p}}\right)}_{\mathit{T}}\cdot \text{d}\mathit{p}+{\left(\frac{\partial {\mu }^{\beta }}{\partial \mathit{T}}\right)}_{\mathit{p}}\cdot \text{d}\mathit{T}={\mu }^{\beta }(\mathit{p},\mathit{T})+v^{\beta }\cdot \text{d}\mathit{p}+s^{\beta }\cdot \text{d}\mathit{T}$$

Falls die Phasen $\alpha$ und $\beta$ nach der Temperatur- und Druckänderung immer noch im Gleichgewicht stehen, müssen die chemischen Potenziale wieder gleich sein:

$${\mu }^{\alpha }+\text{d}{\mu }^{\alpha }={\mu }^{\beta }+\text{d}{\mu }^{\beta }$$

$${\mu }^{\alpha }(\mathit{p},\mathit{T})+v^{\alpha }\cdot \text{d}\mathit{p}-s^{\alpha }\cdot \text{d}\mathit{T}={\mu }^{\beta }(\mathit{p},\mathit{T})+v^{\beta }\cdot \text{d}\mathit{p}-s^{\beta }\cdot \text{d}\mathit{T}$$

Unter der Berücksichtigung, dass ${\mu }^{\alpha }(\mathit{p},\mathit{T})={\mu }^{\beta }(\mathit{p},\mathit{T})$ gilt, ergibt sich durch Umformung unmittelbar die Temperaturabhängigkeit des Dampfdrucks zu folgendem Zusammenhang, wobei der Index t die Transformation von Phase $\alpha$ nach Phase $\beta$ bezeichnet.

$$\frac{\text{d}\mathit{p}}{\text{d}\mathit{T}}=\frac{s^{\beta }-s^{\alpha }}{v^{\beta }-v^{\alpha }}=\frac{\Delta S_{\text{t}}}{\Delta V_{\text{t}}}$$

Clausius-Clapeyron-Gleichung

Im Gleichgewicht ist:

$${\Delta \mathit{G}}_{\text{t}}={\Delta \mathit{H}}_{\text{t}}-\mathit{T}{\Delta \mathit{S}}_{\text{t}}=0$$

$${\Delta \mathit{S}}_{\text{t}}=\frac{{\Delta \mathit{H}}_{\text{t}}}{\mathit{T}}$$

Durch Einsetzen ergibt sich die Clausius-Clapeyron-Gleichung (nach Rudolph Clausius und Emile Clapeyron) für beliebige Phasengleichgewichte.

$$\frac{\text{d}\mathit{p}}{\text{d}\mathit{T}}=\frac{{\Delta \mathit{H}}_{\text{t}}}{\mathit{T}\cdot {\Delta \mathit{V}}_{\text{t}}}$$

Diese Gleichung gibt direkt die Steigung der Gleichgewichtskurven (Dampfdruckkurve, Schmelzdruckkurve, Sublimationsdruckkurve) wieder.