Entropie bei isothermer Volumenänderung

Zur Bestimmung der Entropie bei isothermen Volumenänderungen werden die Definitionsgleichung der Entropie (2. Hauptsatz der Thermodynamik) und der 1. Hauptsatz der Thermodynamik verwendet:

$$\begin{array}{l}\text{2. Hauptsatz}\text{}\text{}\text{}ds=\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}\\ \text{1. Hauptsatz}dU=\delta Q+\delta W=\delta Q_{\text{rev}}-pdV\\ \Rightarrow dS=\frac{dU+pdV}{T}\end{array}$$

Mit dem totalen Differenzial der inneren Energie $U=U(V,T)$

$$dU={\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_{\text{T}}dV+{\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_{\text{V}}dT$$

erhält man

$$dS=\frac{1}{T}\left[{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_{\text{T}}+p\right]dV+\frac{1}{T}{\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_{\text{V}}dT$$

und für isotherme Prozesse mit $dT=0$ Gleichung :

$$dS=\frac{1}{T}\left[{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_{\text{T}}+p\right]dV$$

Bei idealen Gasen verschwindet der innere Druck $\pi$. Berücksichtigt man noch das ideale Gasgesetz wird aus Gleichung Gleichung :

$$\begin{array}{l}\pi ={\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_{\text{T}}=0pV=nRT\\ \Rightarrow dS=\frac{nR}{V}dV\end{array}$$

Nach Integration erhält man Gleichung :

$$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{S_1}{\overset{S_2}{\int }}dS}=nR{\displaystyle \underset{V_1}{\overset{V_2}{\int }}\frac{dV}{V}}\\ \Delta S_{\text{T}}=S_{\text{2}}-S_{\text{1}}=nR\ln \frac{V_{\text{2}}}{{\text{V}}_{\text{1}}}\end{array}$$

Bei einer isothermen Expansion dehnt sich das Gas aus und die Entropie nimmt zu, während bei einer isothermen Kompression das Volumen und die Entropie abnehmen:

$$\begin{array}{l}\text{Expansion:}{V}_{\text{2}}>V_{\text{1}}\Delta S_{\text{T}}>0T=\text{const}\text{.}\\ \text{Kompression:}{V}_{\text{2}}<V_{\text{1}}\Delta S_{\text{T}}<0\end{array}$$