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Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Die Wärmekapazität von idealen Gasen

Die kinetische Gastheorie deutet den Druck p eines Gases als Impuls-Übertragung auf eine Behälterwand:

p = 1 3 ( N A V m ) m v ¯ 2 N A = Avogadro-Konstante V m = molares Volumen m = Masse eines Gasteilchens v ¯ 2 = mittlere Geschwindigkeit eines Gasteilchens

Nach Umformen und Berücksichtigung, dass

ε ¯ t r a n s = 1 2 m v ¯ 2 ε ¯ t r a n s = mittlere Translationsenergie eines Gasteilchens

die kinetische Energie (Translationsenergie) eines Gasteilchens ist, erhält man:

p V m = 2 3 N A 1 2 m v ¯ 2 = 2 3 N A ε ¯ t r a n s = 2 3 E ¯ t r a n s E ¯ t r a n s = mittlere Translationsenergie von  N A  Gasteilchen

Mit dem idealen Gasgesetz

p V m = R T R = allgemeine Gaskonstante T = Temperatur

erhält man für die Translationsenergie

E ¯ t r a n s = 3 2 p V m = 3 2 R T

Ein ideales einatomiges Gas (z.B. Edelgas) hat weder Rotations- noch Schwingungsenergie. Die Translationsenergie entspricht daher der molaren inneren Energie U m :

U m = E ¯ t r a n s = 3 2 R T

Die molare Wärmekapazität (Molwärme) bei konstantem Volumen C V , m für ein einatomiges ideales Gas ist dann

C V , m = ( U m T ) V = ( ( 3 2 R T ) T ) V = 3 2 R = 12,5 J mol-1 K-1

Bei idealen Gasen ist der innere Druck Π null (Isobare Erwärmung, Wärmekapazität und die Enthalpie), weil keine Anziehungskräfte zwischen den Teilchen auftreten:

Π = ( U V ) T = 0

Der innere Druck Π ist nicht dasselbe wie der Kohäsionsdruck oder Binnendruck π , hängt aber mit diesem zusammen. Wenn der innere Druck null wird, ist auch die entsprechende Arbeit null. Somit gilt:

C p = C V + [ ( U V ) T + p ] ( d V d T ) p

Die Gleichung vereinfacht sich dann zu

C p = C V + p ( d V d T ) p C p = Wärmekapazität bei konstantem Druck

Mit dem idealen Gasgesetz

V = n R T p V = Volumen n = Stoffmenge

und

( d V d T ) p = n R p

werden

C p = C V + n R C p C V = n R C p , m = C V , m + R C p ,m C V ,m = R

erhalten

Für einatomige ideale Gase sind die Werte der molaren Wärmekapazitäten:

C p , m = 5 2 R = 21 J mol-1 K-1 C V , m = 3 2 R = 12,5 J mol-1 K-1

Bei mehratomigen idealen Gasen wird C V,m größer und außerdem temperaturabhängig, weil auch Freiheitsgrade der Rotations- und Schwingungsenergie angeregt werden können.

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