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Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Vergleich von isothermer und adiabatischer, reversibler Volumenänderung

Anhand eines Beispiels sollen eine adiabatisch-reversible und isotherm-reversible Prozessführung verglichen werden.

Beispiel

Ein einatomiges ideales Gas wird von V 1 = 1m3 und p 1 = 10atm sowie T 1 = 273K auf p 2 = 1atm expandiert.

isotherm-reversible Expansion

Das Volumen, welches das ideale Gas nach der isothermen Expansion einnimmt, wird nach dem Boyle-Mariotte'schen Gesetz berechnet:

V 2 = p 1 p 2 V 1 = 10atm 1atm 1m3 = 10m3 T 1 = 273K = const.

Die Stoffmenge (Molzahl) n Gas errechnet sich aus Volumen V und molarem Volumen V m unter Normalbedingungen:

n = V 2 V m = 10m3 0,0224m3 mol-1 = 446mol

Die von der Umgebung aufgenommene Wärmemenge beträgt:

Q isoth . = n R T ln V 2 V 1 = 446mol 8,3J mol-1 K-1 273K 2,3 lg 10m3 1m3 = 2.324kJ

Entsprechend beträgt die geleistete Volumenarbeit:

W vol = Q isoth . = 2.324kJ

adiabatisch-reversible Expansion

Das Volumen, welches das ideale Gas nach der adiabatischen Expansion einnimmt, wird mit der Poisson-Gleichung berechnet:

V 2 = V 1 ( p 1 p 2 ) 1 κ = 1m3 ( 10atm 1atm ) 1 1,67 = 3,98m3

Für einatomige ideale Gase beträgt der Faktor κ = 5 / 3 = 1,67 . T 2 erhält man mit der allgemeinen Gasgleichung:

T 2 = p 2 V 2 n R = 1atm 4m3 446,4mol 8,3J mol-1 K-1 = 109K

Für ein einatomiges ideales Gas ist die molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen:

C V , m = 3 2 R

Die Änderung der inneren Energie ist gleich der Volumenarbeit, die vom idealen Gas geleistet wird:

Δ U = W vol = n C V , m ( T 1 T 2 ) = 446mol 3 2 8,3J mol-1 K-1 ( 273K 109K ) = 910kJ

In einem p ( V )-Diagramm verläuft die Adiabate steiler als die Isotherme und schneidet dadurch die Isothermen.

Eine Expansion verläuft weniger heftig, wenn kein Wärmeaustausch mit der Umgebung möglich ist. Bei adiabatischer Expansion nimmt die Temperatur ab, weil die Arbeit aus der inneren Energie U ( T ) des idealen Gases kommen muss.

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