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Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Reversible isotherme Volumenänderung

Der Zusammenhang zwischen Volumen V , Druck p und Temperatur T ist durch die thermische Zustandsgleichung V = V ( n , R , T ) gegeben. Da das Volumen eine extensive Größe ist, muss die Stoffmenge n oder das Molvolumen V m = V / n angegeben werden (intensive Eigenschaft). Der Prozess einer Volumenänderung soll so langsam wie möglich (reversibel) in einem Thermostat bei konstanter Temperatur ( d T = 0 ) ablaufen. Unter diesen Bedingungen ergibt sich die dabei umgesetzte Wärme δ Q aus dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik und dem totalen Differential der inneren Energie d U :

δ Q = d U δ W vol = d U + p d V d U = ( U T ) V d T = 0 + ( U V ) T d V = ( U V ) T d V δ Q isoth . = [ ( U V ) T + p ] d V

Die umgesetzte Wärmemenge bei einer isothermen, reversiblen Volumenänderung von V 1 nach V 2 ist dann:

Q isoth . = v 1 v 2 [ ( U V ) T + p ] d V

Für ein ideales Gas ist der partielle Differentialquotient (innerer Druck) null und der Druck p durch die ideale Gasgleichung gegeben:

( U V ) T = 0 p = n R T V R = allgemeine Gaskonstante

Das Volumen ändert sich entlang sogenannter Isothermen. Die umgesetzte Wärme wird durch Integration erhalten:

Q isoth . = V 1 V 2 p d V = v 1 v 2 n R T d V V = n R T ln V 2 V 1

Bei einer Kompression ist V 2 < V 1 und Q isoth. < 0 . Das bedeutet, dass Wärme an die Umgebung (Thermostat) abgegeben wird. Bei einer Expansion ist das Vorzeichen von Q isoth. dagegen positiv.

Die Änderung der inneren Energie bei einer isothermen Volumenänderung ist null, da der innere Druck bei idealen Gasen verschwindet und die Temperatur konstant bleibt:

d U = δ Q isoth . + δ W vol = δ Q isoth . p d V = ( U T ) V d T = 0 δ W vol = δ Q isoth . δ Q isoth . = δ W vol

Die bei einer Expansion vom Gas geleistete Volumenarbeit ist daher:

δ W vol = p d V = δ Q isoth . W vol = p d V = Q isoth . = n R T ln V 2 V 1

Die einem idealen Gas bei einer Expansion isotherm-reversibel zugeführte Wärmemenge entspricht der vom Gas geleisteten Arbeit.

Das bedeutet auch, dass bei einem idealen Gas die für die Kompression aufgewendete Arbeit gleich der an den Thermostaten abgegebenen Wärme ist.

Δ U = U 2 U 1 = W vol + Q isoth . = 0 W vol = Q isoth.

Nachfolgend ist eine Rechenbeispiel angegeben.

Beispiel

Berechnung der frei werdenden Wärme einer Kompression.

1mol eines idealen Gases bei T = 300K wird von 1.000cm3 auf 100cm3 komprimiert:

Q isoth . = n R T ln V 2 V 1 = 1mol 8,3J mol-1 K-1 300K 2,3 lg 100cm3 1.000cm3 = 5.730J

W vol = Q isoth. = 5.730J .

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