Isochore Erwärmung und Wärmekapazität

Bei isochorer Erwärmung bleibt das Volumen $V$ konstant und die Volumenarbeit $\partial W_{\text{vol}}$ ist null:

$$\delta W_{\text{vol}}=-p\cdot dV=0\begin{array}{l}p=\text{Druck}\end{array}$$

Die Änderung der inneren Energie $dU$ ist dann gleich der ausgetauschten Wärmemenge bei konstantem Volumen $\partial Q_V$

$$dU=\delta Q_V=C_{V}dT\begin{array}{l}{C}_V=\text{Wärmekapazität}\\ T=\text{Temperatur}\end{array}$$

oder umgestellt

$$C_V={\left(\frac{dU}{dT}\right)}_V$$

Die molare innere Energie $U_m$ und die molare Wärmekapazität (Molwärme) $C_{V,m}$ sind:

$$U_m=\frac{U}{n}{C}_{V,m}={\left(\frac{d{U}_m}{dT}\right)}_V=\frac{1}{n}{\left(\frac{dU}{dT}\right)}_V={\left(\frac{dQ}{dT}\right)}_V=\frac{C_V}{n}\begin{array}{l}n=\text{Stoffmenge}\end{array}$$

Die molare Wärmekapazität (Molwärme) ist definiert:

Definition

Die molare Wärmekapazität $C_V$ ist die Wärmemenge, die notwendig ist, um $1\text{mol}$ einer Substanz bei konstantem Volumen um $1\text{°C}$ zu erwärmen.

Die Änderung der molaren inneren Energie wird durch das totale Differential von $U(V_m,T)$ beschrieben:

$$d{U}_m={\left(\frac{\partial U_m}{\partial V_m}\right)}_{T}dV+{\left(\frac{\partial U_m}{\partial T}\right)}_{V}dT$$

Bei isochorer Erwärmung bleibt das Volumen konstant und man erhält aus dem totalem Differential:

$$d{U}_m={\left(\frac{\partial U_m}{\partial T}\right)}_{V}dT\text{oder umgestellt}{\left(\frac{d{U}_m}{dT}\right)}_V={\left(\frac{\partial U_m}{\partial T}\right)}_V$$

Wenn die innere Energie nur von einer Zustandsvariable abhängt, können der Differentialquotient und die partielle Ableitung gleichgesetzt werden.