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Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Isobare Erwärmung, Wärmekapazität und die Enthalpie

Der 1. Hauptsatz für eine isobare Erwärmung, wenn nur Volumenarbeit W vol auftreten soll, ist:

d U = δ Q p + δ W vol = δ Q p p d V U = innere Energie Q p = Wärme bei konstantem Druck p = Druck V = Volumen

Mit der Wärmekapazität bei konstantem Druck C p

δ Q p = C p d T T = absolute Temperatur

und dem totalen Differential der inneren Energie U ( V , T )

d U = ( U V ) T d V + ( U T ) V d T

wird

d U = C p d T p d V = ( U T ) V d T + ( U V ) T d V

erhalten. Nach Umformung ist die Wärmekapazität bei konstantem Druck C p :

C p = ( U T ) V + [ ( U V ) T + p ] ( d V d T ) p

Mit der Wärmekapazität bei konstantem Volumen C V

C V = ( U T ) V

ergibt sich ein Ausdruck mit beiden Kapazitäten:

C p = C V + [ ( U V ) T + p ] ( d V d T ) p

Die Kapazitäten bei konstantem Druck und konstantem Volumen unterscheiden sich durch zwei Summanden. Ein Gas, das sich bei Wärmezufuhr isobar ausdehnt, muss einen "inneren" (1. Summand) und einen äußeren Druck (2. Summand) überwinden.

Definition
p ( d V d T ) p ist die Volumenarbeit gegen den konstanten Außendruck bei einer Temperaturerhöhung um 1°C und ( U T ) T ( d v d T ) p die Arbeit zur Änderung der inneren Energie gegen Anziehungskräfte der Teilchen bei einer Temperaturerhöhung um 1°C.

Die Änderung der inneren Energie bei isobarer Erwärmung war

d U = C p d T p d V

und umgestellt

C p d T = d U p d V

Da der Druck konstant bleiben soll ist d p = 0 und man kann Druck und Volumen als differentielles Produkt schreiben:

C p d T = d U + d ( p V ) = d ( U + p V ) = d H

H ist eine neue Zustandsgröße, die Enthalpie genannt wird:

H = U + p V

Mit dieser neuen Zustandsgröße wird die Wärmekapazität bei konstantem Druck definiert:

C p = ( d H d T ) p = ( H T ) p

Die molare Wärmekapazität bei konstantem Druck (Molwärme) ist:

C p , m = C p n = 1 n ( H T ) p = ( H m T ) p

Bei konstantem Druck ist die Enthalpieänderung gleich der ausgetauschten Wärmemenge

d H = C p d T = δ Q p C p = ( d H d T ) p = d Q p d T

und man erhält nachfolgende Definition.

Definition
Die molare Wärmekapazität (Molwärme) C p ist die Wärmemenge, die nötig ist, um 1mol eines Stoffes bei konstantem Druck um 1°C zu erwärmen.
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