zum Directory-modus

Erster Hauptsatz der Thermodynamik

Entropie bei adiabatischer Volumenänderung

Bei einem adiabatischen Prozess ist kein Wärmeaustausch δ Q mit der Umgebung möglich:

δ Q = 0

Ein solcher Prozess läuft in einem wärmeisolierten Gefäß möglichst langsam (reversibel) ab:

1. Hauptsatz d U = δ Q + δ W vol = p d V totales Differential d U = ( U V ) T d V + ( U T ) V d T innerer Druck Π = ( U V ) T = 0 Wärmekapazität C V = ( U T ) V d U = d W vol = p d V = C V d T U = innere Energie W vol = Volumenarbeit p = Druck V = Volumen T = Temperatur

Für ideale Gase ist der innere Druck null. Mit der allgemeinen Gasgleichung und der molaren Wärmekapazität bei konstantem Volumen ergibt sich:

p d V = C V d T p V = n R T C V , m = C V n d T T = R C V , m d V V n = Stoffmenge R = allgemeine Gaskonstante C V , m = molare Wärmekapazität

Bei einer adiabatischen Volumenänderung von V 1 nach V 2 ändert sich die Temperatur von T 1 nach T 2 und man kann integrieren:

T 1 T 2 d T T = R C V,m V 1 V 2 d V V

Die bestimmten Integrale sind

ln T 2 T 1 = R C V,m ln V 2 V 1 = ln ( V 2 V 1 ) R C V,m

und nach Potenzierung

T 2 T 1 = ( V 2 V 1 ) R C V,m = ( V 1 V 2 ) R C V,m

Die Differenz der molaren Wärmekapazitäten für ideale Gase ist gleich der allgemeinen Gaskonstanten, sodass für den Exponenten

R C V,m = C p,m C V,m C V,m = C p,m C V,m 1 = Κ 1

erhalten wird. Für einatomige Gase ist der Faktor Κ :

Κ = C p , m C V , m = 5 2 R 3 2 R = 1,67

Damit ergibt sich eine der Poisson'schen oder Adiabaten-Gleichungen:

T 1 V 1 κ 1 = T 2 V 2 κ 1 oder T V κ 1 = T 0 V 0 κ 1 = c o n s t .

Die restlichen Gleichungen werden aus (9) und der allgemeinen Gasgleichung erhalten:

p 1 V 1 κ = p 2 V 2 κ oder p V κ = p 0 V 0 κ = c o n s t . T 1 κ p 1 1 κ = T 2 κ p 2 1 κ oder T κ p 1 κ = T 0 κ p 0 1 κ = c o n s t .
Seite 11 von 20