Entropie bei adiabatischer Volumenänderung

Bei einem adiabatischen Prozess ist kein Wärmeaustausch $\delta Q$ mit der Umgebung möglich:

$$\delta Q=0$$

Ein solcher Prozess läuft in einem wärmeisolierten Gefäß möglichst langsam (reversibel) ab:

$$\begin{array}{l}\text{1. Hauptsatz}dU=\delta Q+\delta W_{\text{vol}}=-pdV\\ \text{totales Differential}dU={\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_{T}dV+{\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_{V}dT\\ \text{innerer Druck}\Pi ={\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T=0\\ \text{Wärmekapazität}{C}_V={\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_V\\ \Rightarrow dU=d{W}_{\text{vol}}=-p\cdot dV=C_V\cdot dT\end{array}\begin{array}{l}U=\text{innere Energie}\\ W_{\text{vol}}=\text{Volumenarbeit}\\ p=\text{Druck}\\ V=\text{Volumen}\\ T=\text{Temperatur}\end{array}$$

Für ideale Gase ist der innere Druck null. Mit der allgemeinen Gasgleichung und der molaren Wärmekapazität bei konstantem Volumen ergibt sich:

$$\begin{array}{l}-pdV=C_{V}dT\\ pV=nRT\\ C_{V,m}=\frac{C_V}{n}\\ \Rightarrow \frac{dT}{T}=-\frac{R}{C_{V,m}}\cdot \frac{dV}{V}\end{array}\begin{array}{l}n=\text{Stoffmenge}\\ R=\text{allgemeine Gaskonstante}\\ C_{V,m}=\text{molare Wärmekapazität}\end{array}$$

Bei einer adiabatischen Volumenänderung von $V_{\text{1}}$ nach $V_{\text{2}}$ ändert sich die Temperatur von $T_{\text{1}}$ nach $T_{\text{2}}$ und man kann integrieren:

$$\underset{T_1}{\overset{T_2}{\int }}\frac{dT}{T}=-\frac{R}{C_{V,m}}\cdot \underset{V_1}{\overset{V_2}{\int }}\frac{dV}{V}$$

Die bestimmten Integrale sind

$$ln\frac{T_2}{T_1}=-\frac{R}{C_{V,m}}\cdot ln\frac{V_2}{V_1}=ln{\left(\frac{V_2}{V_1}\right)}^{-\frac{R}{C_{V,m}}}$$

und nach Potenzierung

$$\frac{T_2}{T_1}={\left(\frac{V_2}{V_1}\right)}^{-\frac{R}{C_{V,m}}}={\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\frac{R}{C_{V,m}}}$$

Die Differenz der molaren Wärmekapazitäten für ideale Gase ist gleich der allgemeinen Gaskonstanten, sodass für den Exponenten

$$\frac{R}{C_{V,m}}=\frac{C_{p,m}-C_{V,m}}{C_{V,m}}=\frac{C_{p,m}}{C_{V,m}}-1={\rm K}-1$$

erhalten wird. Für einatomige Gase ist der Faktor ${\rm K}$:

$${\rm K}=\frac{C_{p,m}}{C_{V,m}}=\frac{\frac{5}{2}R}{\frac{3}{2}R}=\mathrm{1,67}$$

Damit ergibt sich eine der Poisson'schen oder Adiabaten-Gleichungen:

$$T_1\cdot V_1^{\kappa -1}=T_2\cdot V_2^{\kappa -1}\text{oder}T{V}^{\kappa -1}=T_0\cdot V_0^{\kappa -1}=const.$$

Die restlichen Gleichungen werden aus (9) und der allgemeinen Gasgleichung erhalten:

$$\begin{array}{l}{p}_1\cdot V_1^{\kappa }=p_2\cdot V_2^{\kappa }\text{oder}p{V}^{\kappa }=p_0\cdot V_0^{\kappa }=const.\\ T_1^{\kappa }\cdot p_1^{1-\kappa }=T_2^{\kappa }\cdot p_2^{1-\kappa }\text{oder}{T}^{\kappa }\cdot p^{1-\kappa }=T_0^{\kappa }\cdot p_0^{1-\kappa }=const.\end{array}$$