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Ideales Gas

Herleitung der allgemeinen Gasgleichung

Zur Herleitung der Gasgleichung betrachten wir, wie sich das molaren Volumen V m von 1mol eines idealen Gases ändert, wenn der Druck p und die Temperatur T erhöht werden. Diesen Prozess unterteilen wir in zwei getrennte Vorgänge.

Zunächst wird eine isotherme Druckerhöhung durchgeführt, was bedeutet, dass die Zustandsänderung P ( V m ,1 , p 1 , T 1 ) P ( V m , x , p 2 , T 1 ) bei einer konstanten Temperatur abläuft. Anschließend wird das System isobar, also bei konstantem Druck, erhitzt, wobei sich der Zustand gemäß P ( V m , x , p 2 , T 1 ) P ( V m ,2 , p 2 , T 2 ) ändert.

Abb.1
Isotherme und isobare Zustandsänderung

Die isotherme Zustandsänderung wird durch das Boyle-Mariotte'sche Gesetz beschrieben

Isotherme   Zustandsänderung: p 1 V m ,1 = p 2 V m ,x

und die isobare Zustandsänderung durch das Gay-Lussac'sche Gesetz.

Isobare   Zustandsänderung: V m ,x T 1 = V m ,2 T 2 V m ,x = V m ,2 T 2 T 1

Setzt man Gleichung in Gleichung ein, erhält man:

p 1 V m ,1 T 1 = p 2 V m ,2 T 2 = const .

Bezieht man die Zustandsänderung auf bestimmmte festgelegte Werte wie die im Normzustand, ist die Konstante gleich der allgemeinen Gaskonstante R

pn V mn Tn = R pn = Normdruck Tn = Normtemperatur V mn = molares Volumen im Normzustand

Bei der Durchführung der Zustandsänderung mit einer Stoffmenge n > 1mol eines idealen Gases ändern sich Druck p und Temperatur T nicht, und das Volumen V wird um den Faktor n größer.

V = n V m

Damit erhalten wir das ideale Gasgesetz in einer allgemeinen und besonderen Form.

Gesetz
p V = n R T oder p V m = R T
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