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Thermodynamische Begriffe

Anwendung des totalen Differenzials

Anwendung des totalen Differenzials auf die Allgemeine Gasgleichung

Eine wichtige Anwendung des totalen Differenzials ergibt sich beispielsweise aus der relativen Volumenänderung eines idealen Gases:

d V V = 1 V ( V p ) T d p + 1 V ( V T ) p d T

Den ersten Term, die relative Druckabhängigkeit des Volumens, bezeichnet man als isotherme Volumenkompressibilität (Kompressibilitätskoeffizient) κ   oder kurz als Kompressibilität :

κ = 1 V ( V p ) T = 1 V R T p 2 = 1 p

Der zweiten Term wird als isobarer thermischer Volumenausdehnungskoeffizient α bezeichnet:

α = 1 V ( V T ) p = 1 v R p = 1 T

Der isochore Spannungskoeffizient β lautet:

β = 1 p ( p T ) V = 1 T

Für ideale Gase ist α = β = 1/273,15 K .

Für das totale Differenzial gilt:

d V = κ V f d p + α V g d T

Anwendung des Schwartz'schen Satzes:

T ( V p ) T = p ( V T ) p T ( - V κ ) = p ( - V α ) ( V T ) p κ ( κ T ) p V = ( V p ) T α + ( α p ) p V da  ( V T ) p = V α  und  ( V p ) T = V κ = - α V κ - V ( κ T ) p = α V κ + V ( α p ) T ( κ T ) p = ( α p ) T

Das heißt die negative Temperaturabhängigkeit der Kompressibilität ist gleich der Druckabhängigkeit des thermischen Ausdehnungskoeffizienten. Dies gilt für alle Stoffe, für die die thermische Zustandsgleichung v = v ( p , T ) gilt.

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