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Dispersion

Klassische Herleitung der Dispersionsgleichungen

Im Folgenden werden Atom-, Elektronen und Orientierungspolarisation etwas genauer untersucht und die mathematischen Ansätze zu deren Berechnung diskutiert. Atom- und Elektronenpolarisation werden durch den gleichen mathematischen Ansatz beschrieben.

Atom- und Elektronenpolarisation

Die Theorie der Dispersion geht auf den Ansatz von Paul Drude zurück, der Materie als Ensemble von gleichartigen Oszillatoren (Atome oder Moleküle im Vakuum, isotropes Medium) auffasst, die durch das elektrische Wechselfeld der Strahlung E = E0 e i ω t in Schwingungen versetzt werden. Diese grob mechanistische Beschreibung kann die Wechselwirkung von Strahlung mit Materie nicht vollständig beschreiben. Es hat sich aber gezeigt, dass auch die quantenmechanische Rechnung die Form der Dispersionsgleichung nicht geändert hat.

Quantitativ unterscheiden sich Atom- und Elektronenpolarisation durch ihre unterschiedliche Trägheit. Die massearmen Elektronen können über weite Frequenzbereiche dem elektrischen Wechselfeld der Strahlung folgen. Eigen- oder Resonanzfrequenzen der Elektronen treten meist erst im Ultravioletten auf, die Resonanzfrequenzen der Atomrümpfe dagegen im Infraroten.

Für einen einzelnen, harmonischen Oszillator lautet die Bewegungsgleichung:

F = m d 2 x d t 2 + D d x d t + R x = q E0 e i ω t

Die Gleichung beschreibt eine klassische erzwungene Schwingung mit der sich periodisch ändernden Zwangskraft F = q E0 e i ω t . Die Dämpfungskonstante D berücksichtigt, dass ein klassischer, schwingender Dipol stets Energie in Form einer elektromagnetischen Welle abstrahlt. Mathematisch gesehen beseitigt das Dämpfungsglied die Unstetigkeit der Kurve n ω an den Resonanzstellen.

Hinweis
Dieser Ausdruck gilt für dünne Medien wie Gase. In dichten Medien unterscheidet sich das lokale elektrische Feld vom eingestrahlten, da auch die unmittelbaren Nachbarmoleküle das lokale E-Feld beeinflussen.

Mit dem Ansatz x = x 0 e i ω t und durch Einsetzen der Eigenfrequenz des ungedämpften harmonischen Oszillators ω 0 = R m und der Dämpfung δ = D 2 m ergibt sich für die Amplitude des angeregten harmonischen Oszillators bei eindimensionaler Rechnung ein komplexer Ausdruck:

x 0 = q m E0 ω 0 2 ω 2 + i 2 δ ω

Ohne äußeres Feld und mit kleiner Dämpfung δ ω 0 schwingt der Oszillator in seiner Resonanzfrequenz ω r = ω 0 2 δ 2 ω 0 . Hat das elektrische Feld der einfallenden Strahlung eine Frequenz ω ω r , haben E t und x t das gleiche Vorzeichen, d.h. die Ladung kann der äußeren Kraft folgen und ist mit ihr in Phase. Ist ω ω r , liegt die Verschiebung x t in der entgegengesetzten Richtung zu E t und ist damit 180° phasenverschoben.

Die Polarisation wird mithilfe der Permittivität des Vakuums ε 0 (auch Dielektrizitätskonstante des Vakuums genannt) und der relativen Permittivität ε r (auch relative Dielektrizitätskonstante genannt) wie folgt beschrieben:

P = q x 0 = ε r 1 ε 0 E0

Durch Vergleich der Gleichung mit der Gleichung ergibt sich:

ε r = 1 + q 2 ε 0 m ω 0 2 ω 2 + i 2 δ ω

Bei Strahlungsfrequenzen deutlich unterhalb der Resonanzfrequenz des Oszillators ( ω ω r ) sind angelegtes Feld und Polarisation nahezu in Phase. Oberhalb der Resonanz ( ω ω r ) liegen äußeres Feld und Dipolmoment um annähernd 180° phasenverschoben. Relative Permittivität und Brechungsindex nehmen Werte kleiner als eins an!

Hinweis
Wie noch ausgeführt wird, haben Materialien im Allgemeinen mehrere Resonanzfrequenzen. Ein Brechungsindex mit n < 1 gilt sicher nur, wenn die Einstrahlungsfrequenz größer als die größte Resonanzfrequenz ist. Dass dann die Phasengeschwindigkeit υ p = c0 n λ größer ist als die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, ist nur ein scheinbarer Widerspruch zur speziellen Relativitätstheorie. Die Form des Wellenpaketes pflanzt sich mit der Gruppengeschwindigkeit υ g fort, die kleiner als die Vakuumlichtgeschwindigkeit ist.
υ g = υ p λ d υ p d λ υ g = c0 n λ λ c0 n λ 2 d n λ d λ υ g = c0 n λ + c0 λ n λ 2 d n λ d λ υ g = c0 1 n λ + 1 n λ 2 λ d n λ d λ
Ist n λ < 1 , gilt 1 n λ 2 > 1 n λ > 1 . Bei normaler Dispersion d n λ d λ < 0 gilt allgemein:
1 n λ + 1 n λ 2 λ d n λ d λ < 1 υ g < c0
Beim Durchgang durch ein dispersives, lineares Medium zerfließen Wellenpakete, so dass letztendlich auch das Konzept der Gruppengeschwindigkeit versagt.

Berücksichtigt man, dass es nicht nur einen, sondern N gleichartige Oszillatoren mit der gleichen Resonanzfrequenz ω r gibt und dass in einem komplexen Molekül oft mehrere Resonanzfrequenzen ω r, h existieren, lässt sich Gleichung zur Dispersionsgleichung erweitern:

ε r = 1 + h q 2 Nh ε 0 mh ω r, h 2 ω 2 + i 2 δ h ω

Die Polarisierbarkeit bei der Anwendung eines elektrischen Wechselfeldes der Kreisfrequenz ω ist ebenso wie die relative Permittivität ε r und der Brechungsindex eine komplexe Größe. Für die reelle relative Permittivität gilt die Beziehung ε r μ r = n 2 mit der relativen Permeabilität μ r . Bei optischen Medien ist die relative Permeabilität μ r 1 , womit für die reelle relative Permittivität n 2 ε r folgt. Analog lässt sich auch eine komplexe Brechzahl definieren gemäß n * = n 1 i κ . Mit dem Faktor κ kann der Imaginäranteil des Brechungsindexes durch den Realanteil des Brechungsindexes dargestellt werden. Es gilt dabei:

n 2 = n * 2 = n 2 1 i κ 2 = n 2 1 + i 2 κ 2 i 2 κ = n 2 1 κ 2 i 2 n 2 κ = ε r

Die relative Permittivität ε r aus Gleichung lässt sich weiter umformen:

ε r = 1 + h q 2 Nh ε 0 mh ω r, h 2 ω 2 + i 2 δ h ω = 1 + h q 2 Nh ε 0 mh ω r, h 2 ω 2 + i 2 δ h ω ω r, h 2 ω 2 - i 2 δ h ω ω r, h 2 ω 2 - i 2 δ h ω = 1 + h q 2 Nh ε 0 mh ω r, h 2 ω 2 - i 2 δ h ω ω r, h 2 ω 2 2 + 2 δ h ω 2 = 1 + h q 2 Nh ε 0 mh ω r, h 2 ω 2 ω r, h 2 ω 2 2 + 2 δ h ω 2 i q 2 Nh ε 0 mh 2 δ h ω ω r, h 2 ω 2 2 + 2 δ h ω 2

Eine Trennung des Brechungsindexes nach Real- und Imaginärteil ergibt unter Beachtung von Gleichung folgende Zusammenhänge:

ε r = n 2 1 κ 2 = 1 + h q 2 Nh ε 0 mh ω r, h 2 ω 2 ω r, h 2 ω 2 2 + 2 δ h ω 2
ε r = 2 n 2 κ = h q 2 Nh ε 0 mh 2 δ h ω ω r, h 2 ω 2 2 + 2 δ h ω 2

Die elektrische Feldstärke einer elektromagnetischen Welle E kann in komplexer Schreibweise dargestellt werden:

E = E0 e i ω t x υ p = E0 e i ω t x ε r c0

Mit ε r = n 2 1 i κ 2 folgt daraus:

E = E0 e i ω t n x c0 e ω n κ x c0

Der erste Faktor der rechten Seite beschreibt eine ebene Welle, der zweite eine räumliche Dämpfung beim Fortschreiten in x-Richtung, d.h. die Absorption der Welle.

Die Diskussion der Dispersionsgleichungen ergibt durch Näherungsbetrachtungen, dass Absorptionen und die anomale Dispersion nur im Bereich der Resonanzfrequenzen auftreten. In größerem Abstand von den Resonanzstellen des Spektrums ist das Medium durchsichtig und weist normale Dispersion auf.

Orientierungspolarisation

Viele Moleküle haben ein permanentes Dipolmoment μdip als Folge ungleich verteilter gemeinsamer Valenzelektronen (polare Moleküle). Stoffe, die aus polaren Molekülen bestehen, werden auch paraelektrisch genannt. Das Wassermolekül ist ein prominentes Beispiel. Die Wärmebewegung der Moleküle bewirkt eine isotrope Ausrichtung der Dipole, es tritt also keine resultierende Polarisation auf. Durch Anlegen eines elektrischen Feldes richten sich diese Dipole aus. Die Ausrichtung erreicht erst nach einer messbaren Zeit ihren stationären Wert. Auch beim Abschalten des Feldes geht die Polarisation nicht sofort auf den Wert Null zurück. Es dauert wieder eine endliche Zeit, bis der Gleichgewichtszustand erreicht ist. Dieses Verhalten nennt man Relaxation, die charakteristische Zeit τ Relaxationszeit.

Fällt eine harmonische elektromagnetische Welle auf ein Dielektrikum, wirken zeitlich variierende Drehmomente M auf die Dipole. Diese Drehmomente sind proportional zur elektrischen Feldkomponente der Welle ( M = μdip × E ). Aufgrund der großen Trägheitsmomente richten sich die Moleküle nur schwach und phasenverschoben aus.

Die quantitative Behandlung der Orientierungspolarisation ergibt Gleichungen folgender Form:

ε r = n 2 1 κ 2 = 1 + a 1 + ω 2 τ 2
ε r = 2 n 2 κ = b ω τ 1 + ω 2 τ 2

Dabei sind a und b Konstanten und τ die bereits erwähnte Relaxationszeit.

Aus den Gleichungen folgt unmittelbar, dass bei hohen Einstrahlungsfrequenzen die permanenten Dipole den Feldänderungen nicht mehr folgen können. Ihre Beiträge zur Polarisation P und damit zu ε nehmen ab. Die relative Permittivität von Wasser z.B. ist über den Bereich von 80Hz bis 1010Hz ungefähr konstant, nimmt danach zu höheren Frequenzen hin sehr schnell ab.

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