zum Directory-modus

Dispersion

Ebene Wellen und Wellenpakete

Die Erscheinung der Dispersion wird in der klassischen Dispersionstheorie mit der Wellennatur des Lichts erklärt. Nach den Maxwell-Gleichungen der klassischen Elektrodynamik lässt sich eine ebene, streng monochromatische Welle, also eine Welle mit fester Wellenlänge λ bzw. fester Frequenz ω , die in x-Richtung fortschreitet, mit dem Wellenvektor k = 2 π λ und der Kreisfrequenz ω = 2 π ν beschreiben durch:

E = E0 e i ω t k x

Eine Taylor-Entwicklung der Kreisfrequenz ω k an der Stelle k = k 0 mit ω k 0 = ω 0 offenbart höhere Glieder, welche zur Definition der Phasen- und Gruppengeschwindigkeit führen:

ω k = ω 0 + d ω k d k | k = k 0 k k 0 +

Die Phasengeschwindigkeit υ p bezeichnet die Geschwindigkeit, die eine Welle mit bestimmtem Wellenvektor k = 2 π λ und bestimmter Kreisfrequenz ω = 2 π ν besitzt, und ist wie folgt definiert:

υ p = ω k k = c0 n k

Der Zusammenhang aus Gleichung gilt streng genommen nur für nicht zu große Lichtintensitäten I E 2 , bei denen Brechzahl n und elektrische Feldstärke E des Lichtes praktisch unabhängig voneinander sind. Man spricht hierbei von einem "linearem Medium" bzw. "linearer Optik". Durch den Einsatz sehr lichtintensiver Laser kann die Brechzahl von der elektrischen Feldstärke abhängen: n E . Man spricht nun von "nichtlinearer Optik", die hier aber nicht behandelt werden soll.

Die unendlich ausgedehnte, monochromatische Welle ist eine Idealisierung, die in der Natur nicht zu finden ist. Auch der Wellenzug eines Dauerstrich-Lasers erreicht dieses Ideal nicht. Alle Experimente der Optik arbeiten mit zeitlich begrenzten Wellengruppen bzw. Wellenpaketen. Zur vereinfachten Modellierung von Wellen, wird die Annahme eines unendlich ausgedehnten Wellenzuges jedoch häufig getroffen.

Abb.1
Gauß'förmiges Wellenpaket
Abb.2
Fourier-Transformation des Gauß'förmigen Wellenpaketes

Das Wellenpaket (Abb. 1) besteht aus einer Grundschwingung mit der Kreisfrequenz ω 0 deren Amplitude eine Gauß-Kurve beschreibt. Ein solches Wellenpaket wird Gauß'förmiges Wellenpaket genannt. Die Fourier-Transformation dieses Wellenpaketes (Abb. 2) entspricht dem Spektrum und offenbart weitere Schwingungen mit Kreisfrequenzen um ω 0 . Das Spektrum eines Gauß'förmigen Wellenpaketes ist wieder eine Gauß-Kurve.

Einen begrenzter Wellenzug besteht immer aus Wellenzügen verschiedener Wellenlänge bzw. Frequenz. Um die Frage zu klären, mit welcher Geschwindigkeit sich ein solches Wellenpaket (auch Wellengruppe genannt) ausbreitet, wird der Begriff der Gruppengeschwindigkeit υ g eingeführt. Die Gruppengeschwindigkeit υ g betrachtet nun die Geschwindigkeit eines endlichen Wellenpaketes aus Wellenzügen mit verschiedenem Wellenvektor k bzw. verschiedener Kreisfrequenz ω :

υ g = d ω k d k | k = k 0

Betrachten wir nun noch einmal Gleichung und stellen diese nach ω k um:

ω k = k υ p

Ableiten von ω k und Betrachtung an der Stelle k = k 0 liefert folgenden Zusammenhang:

d ω k d k = υ p + k d υ p d k υ g = υ p + k d υ p d k

Dieser Zusammenhang lässt sich auch auf die Wellenlänge λ unter der Verwendung von k = 2 π λ d k d λ = 2 π λ 2 d k = 2 π λ 2 d λ beziehen:

υ g = υ p λ d υ p d λ

Da in einem dispersiven, linearen Medium diese monochromatischen Teilwellen ihre eigene wellenlängenabhängige Phasengeschwindigkeit haben, bleibt die Form eines Wellenpaketes während seiner Ausbreitung nicht erhalten.

Liegt ein nicht-dispersives, lineares Medium vor (z.B. Lichtwellen im Vakuum), sind Gruppengeschwindigkeit und Phasengeschwindigkeit gleich, wodurch die Form einer Wellengruppe erhalten bleibt.

Seite 6 von 11