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Optische Grundlagen zur Sensorik

Brechungsgesetz im Wellenbild

Die Brechung einer Welle an einer Grenzfläche beruht auf ihren unterschiedlichen Ausbreitungsgeschwindigkeiten in beiden Medien. Der Brechungsindex berechnet sich aus dem Verhältnis der Ausbreitungsgeschwindigkeiten $c$ im Vakuum und $c_{m}$ im Medium.

n = \frac{c}{c_{m}}

Es folgt für zwei verschiedene Medien:

\frac{n_{1}}{n_{2}} = \frac{c_{2}}{c_{1}}

Für die Brechungswinkel ergibt sich:

\frac{sin (θ_{1})}{sin (θ_{2})} = \frac{c_{1}}{c_{2}}

Abb.1: Reflexion und Brechung einer Lichtwelle

Die Grafik zeigt die Reflexion und Brechung einer Lichtwelle, die Querstreifen symbolisieren Wellenfronten. Im Medium mit größerem Brechungsindex ist die Geschwindigkeit und damit die Wellenlänge kleiner.

Im optisch dichteren Medium ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle geringer. Durch diese Abbremsung erfährt die einfallende Wellenfront einen Knick an der Grenzfläche und dadurch eine Richtungsänderung.

Gleichbedeutend ist die Formulierung mit Hilfe des Fermat'schen Prinzips von Pierre de Fermat: "Der Lichtstrahl nimmt zwischen zwei Punkten den Weg, zu dessen Zurücklegung er die kürzeste Zeit benötigt."

Die Maxwell'sche Formel für den Brechungsindex

Man betrachtet eine ebene elektromagnetische Welle, welche sich in einem isotropen Nichtleiter (Leitfähigkeit $σ = 0$ , Dielektrizitätskonstante $ε$ , magnetische Permeabilität $μ$ ) ausbreitet. Aus den Maxwell-Gleichungen erhält man eine Bedingung für die Fortpflanzungsgeschwindigkeit $c_{m}$ der Welle.