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Optische Grundlagen zur Sensorik

Fresnel'sche Formeln

Zur genaueren Betrachtung des elektromagnetischen Feldes an Grenzflächen werden der elektrische und der magnetische Feldvektor in je zwei Komponenten senkrecht und parallel zur Einfallsebene zerlegt. Die Bezeichnung der Komponenten bzw. der Polarisation erfolgt nach der Richtung des $E$ -Vektors. $E_{π}$ liegt parallel (π) zur Einfallsebene, $E_{σ}$ senkrecht (σ) dazu. Die $H$ -Vektoren werden entsprechend den dazugehörenden $E$ -Vektoren bezeichnet. Damit liegt $H_{σ}$ in der Einfallsebene.

Abb.1

$k_{i}$: Einfallender Strahl an einer dielektrischen (nichtleitenden) Grenzschicht
$k_{t}$: transmittierter Strahl an einer dielektrischen (nichtleitenden) Grenzschicht
$k_{r}$: reflektierter Strahl an einer dielektrischen (nichtleitenden) Grenzschicht

Die Feldvektoren sind eingezeichnet für senkrecht zur Einfallsrichtung polarisiertes Licht (σ- bzw. TE-Polarisation.)

Stetigkeitsbedingungen

Die Tangentialkomponenten von $E$ und $H$ und die Normalkomponenten zur Grenzfläche von $D = ε E$ und $B = μ H$ sind an der Grenzfläche stetig. Dabei sind die Bedingungen für die Normalkomponenten automatisch erfüllt, wenn die für die Tangentialkomponenten gelten.

Formulierung in Gleichungen

Die Stetigkeitsbedingungen führen direkt auf die Fresnel'schen Formeln für den Reflexionskoeffizienten $r$ und den Transmissionskoeffizienten $t$ .

\begin{array}{l} r_{π} = \frac{E_{r, π}}{E_{i, π}} = \frac{n_{2} \cdot cos (θ_{1}) - n_{1} \cdot cos (θ_{2})}{n_{2} \cdot cos (θ_{1}) + n_{1} \cdot cos (θ_{2})} & t_{π} = \frac{E_{t, π}}{E_{i, π}} = \frac{2 \cdot n_{1} \cdot cos (θ_{1})}{n_{2} \cdot cos (θ_{1}) + n_{1} \cdot cos (θ_{2})} \\ r_{σ} = \frac{E_{r, σ}}{E_{i, σ}} = \frac{n_{1} \cdot cos (θ_{1}) - n_{2} \cdot cos (θ_{2})}{n_{2} \cdot cos (θ_{2}) + n_{1} cos (θ_{1})} & t_{σ} = \frac{E_{t, σ}}{E_{i, σ}} = \frac{2 \cdot n_{1} \cdot cos (θ_{1})}{n_{2} \cdot cos (θ_{2}) + n_{1} \cdot cos (θ_{1})} \end{array}

In dieser Version (Gleichungen ) sind aber nicht alle Variablen unabhängig. Mit Hilfe des Snellius'schen Brechungsgesetzes lässt sich eine Variable eliminieren.

Varianten der Fresnel'schen Formeln

Sonderfälle

$r_{π} = 0$: Die reflektierte Welle ist tangential zur Einfallsebene polarisiert: Reflexionspolarisation für $θ_{1} + θ_{2} = 90 °$
$t_{π} = 0$ oder $t_{σ} = 0$ nicht möglich: Auch bei Totalreflexion existiert ein Feldanteil im dünneren Medium, das evaneszente Feld. Bei Reflexionspolarisation ist die transmittierte Welle nie vollständig polarisiert.