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Oberflächenplasmonenresonanz (SPR)

Dispersion von Oberflächenplasmonen in Silber und Gold

Für die Ausbreitung einer elektromagnetischen Welle (z.B. Licht) in einem Medium mit dielektrischer Funktion ε 1 gilt nach den Maxwell-Gleichungen mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit c0, dem Wellenvektor k = 2 π λ und der Kreisfrequenz ω = 2 π T :

ω k = k c0 1 ε 1

Der Realteil der dielektrischen Funktion wird bestimmt aus Realteil und Imaginärteil des Brechungsindexes, wobei der Imaginärteil proportional zur Leitfähigkeit des Mediums ist. Dies führt zu negativen ε bei Metallen.

ε = Re n 2 + Im n 2

Die Abhängigkeit der Energie ω eines sich ausbreitenden Wellenpakets von seinem Impuls k nennt man Dispersionsrelation. An der Steigung der Kurve lässt sich die Gruppengeschwindigkeit des Wellenpakets bei einem bestimmten Impuls ablesen. Für Licht ist die Dispersion durch obige Relation gegeben. Trägt man Energie und Impuls im Koordinatensystem auf, erhält man im Vakuum eine Gerade mit Steigung c0. Licht im Umgebungsmedium mit etwa konstanter dielektrischer Funktion ε 1 hat als Dispersionskurve eine Gerade mit Steigung c0 1 ε 1 , die Lichtgerade.

Da Oberflächenplasmonen an der Grenzfläche von zwei Medien auftreten, müssen die Stetigkeitsbedingungen für elektromagnetische Felder berücksichtigt werden. Daher gehen in die Dispersionsrelation die dielektrischen Funktionen ε 1 und ε 2 beider Grenzmedien ein.

ω k = k c0 1 ε 1 + 1 ε 2

Setzt man die gemessenen Werte für ε 2 von Silber und Gold ein, erhält man die im Applet abgebildeten Dispersionskurven. Deutlich zu erkennen ist die starke Änderung der Dispersionskurve bei Änderung des Brechungsindexes und damit ε 1 des Umgebungsmediums.

Dispersionskurven von Ag, Au und Lichtgerade

Interessant sind der Verlauf für k 0 und der Verlauf für ε 1 ε 2 .

  • Für k 0 geht ε 2 von Metallen gegen , so dass dieser Teil unter der Wurzel wegfällt. Übrig bleibt der Anteil mit ε 1 , so dass die Steigung der Dispersionskurven für Oberflächenplasmonen für k 0 gleich der für Licht im Umgebungsmedium ist. Für größere k ist die Steigung der Plasmonen-Dispersionskurve immer kleiner als die der Lichtgeraden. Daher schneiden sich Lichtgerade und Oberflächenplasmonen-Dispersionskurve nicht.
  • Für ε 1 ε 2 geht der Wert unter der Wurzel gegen null, für ε 1 = ε 2 ist ω k = 0 . Die Steigung der Dispersionskurve nimmt für ε 1 ε 2 immer mehr ab, d.h. die Gruppengeschwindigkeit der Oberflächenplasmonen geht zunächst gegen null und eine fallende Dispersionskurve würde schließlich eine negative Ausbreitungsgeschwindigkeit des Wellenpakets bedeuten. Dies ist hier wegen der Impulserhaltung nicht möglich. Schwach gedämpfte Oberflächenplasmonen können also nur existieren, wenn ε 2 betragsmäßig deutlich größer als ε 1 ist.

Außerdem erkennt man im Applet, dass die Dispersionskurve von Silber bei Änderung des Umgebungsmediums stärker schwankt als die von Gold. Leider ist Silber für Messungen in Flüssigkeiten wenig geeignet, da es dann mit der Umgebung reagiert.

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