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Herleitung des Lambert-Beer'schen Gesetzes

Ein Lichtstrahl erfährt eine Abschwächung, wenn er Materie durchsetzt. Im Allgemeinen ist es erforderlich, das absorbierende Medium in eine Küvette einzuschließen, die ebenfalls von Licht durchstrahlt wird. An ihr treten Verluste durch Absorption, Reflexion oder Streuung auf. Wir gehen in unserem Fall davon aus, dass durch apparative Maßnahmen (Referenzküvette) eine Korrektur für solche Verluste erfolgt. Wir berücksichtigen also nur die Lichtschwächung durch unser zu untersuchendes Medium.

Abb.1
Zur Herleitung des Lambert-Beer'schen Gesetzes

I λ ( 0 ) Intensität des einfallenden Lichts, I λ ( d ) Intensität des aus dem Medium austretenden Lichts.

Die Intensitätsabnahme d I in einer unendlich dünnen Schicht ist sowohl der in die Schicht eintretenden Intensität I ( x ) als auch der durchstrahlten Schichtdicke d x proportional:

d I ( x ) = k I ( x ) d x
Abb.2
Zur Herleitung des Lambert-Beer'schen Gesetzes

d I λ ( x ) Intensitätabfall in einer unendlich dünnen Schicht.

Integriert man diese Gleichung nach Variablentrennung zwischen den Grenzen I 0 und I bzw. 0 und d , erhält man

ln I 0 I = k d

Man schreibt diese Gleichung in den dekadischen Logarithmus um und erhält mit k = k / 2,303 :

lg I 0 I = k d

Das Verhältnis I / I 0 bezeichnet man auch als Transmissionsvermögen T , den dekadischen Logarithmus von 1 / T auch als Absorptionsvermögen A . Für eine Lösung, deren Lösungsmittel bei der betrachteten Wellenlänge völlig durchlässig ist, gilt:

k = ε λ c

c ist dabei die molare Konzentration, ε λ nennt man den molaren dekadischen Extinktionskoeffizienten, er stellt den effektiven Absorptionsquerschnitt eines Mols des gelösten Stoffes dar.

Zusammengefasst erhält man daraus das Lambert-Beer'sche-Gesetz:

E λ = lg I 0 ( λ ) I ( λ ) = lg 1 T ( λ , c ) = ε λ c d
Abb.3
Zur Herleitung des Lambert-Beer'schen Gesetzes

Exponentieller Abfall der Intensität des Lichts.