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Praktikumsversuch Farbe

Farbe - Grundlagen - Elektron im Kasten

Wir wollen weitere Begriffe der Quantenmechanik einführen und einige der hier vorgestellten Begriffe illustrieren. Dabei wird deutlich, dass die Quantenmechanik das Fundament der gesamten Spektroskopie bildet. Die im Folgenden dargestellten Ergebnisse werden anhand der Translation von Elektronen abgeleitet, sie gelten aber prinzipiell für alle Bewegungen (Translation, Rotation und Vibration) mikroskopischer Teilchen.

Diskrete Energieniveaus

Eines der wichtigsten Resultate ist, dass Teilchen, deren Bewegungen durch Wellenfunktionen beschrieben werden müssen, nur ganz bestimmte, diskrete Energieniveaus einnehmen können, wenn sie sich in irgendeinem Potenzialtopf befinden.

Beispiel

Im Bohr'schen Atommodell bewegen sich die Elektronen auf Kreisbahnen im Potenzial eines Atomkerns. Hier existieren nur solche Energieniveaus, für die der Umfang der Umlaufbahn ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge des Elektrons ist. Andernfalls ist die Welle nämlich nach einem Umlauf nicht in sich geschlossen und löscht sich durch Interferenz selbst aus. Nur stehende Wellen entsprechen also stationären Energiezuständen.

Translation im Potenzialtopf

Wir betrachten nun die Translationsbewegung eines Elektrons in einem kastenförmigen Potenzialtopf. Dieses Teilchen soll die Masse m besitzen und sich zwischen zwei Wänden der x -Achse im Bereich zwischen x = 0 und x = L frei bewegen können. Die potenzielle Energie des Teilchens innerhalb des Kastens sei Ep = 0 (willkürlich wählbarer Nullpunkt der potenziellen Energie) und an beiden Wänden unendlich groß. Das Teilchen besitzt also nur die kinetische Energie

Ek = 1 2 m υ 2 = p 2 2 m

Potenzialtopf

Die Berücksichtigung der Welleneigenschaften des Elektrons führt zu der Randbedingung, dass jede physikalisch sinnvolle Wellenfunktion des Teilchens genau in diesen Kasten passen, also eine stehende Welle sein muss (analog zum oben beschriebenen Bohr'schen Atommodell löschen sich alle anderen Wellen nach Reflexion an den Wänden durch Interferenz aus). Die Wellenlängen λ dieser Wellenfunktionen können daher nur folgende Werte annehmen:

λ = 2 L L 2 3 L ...

Allgemein formuliert ergibt sich:

λ = 2 L n mit n = 1 2 3 ...

Jede erlaubte Wellenfunktion φ x kann demnach als eine stehende Sinuswelle mit einer dieser Wellenlängen dargestellt werden.

φ x = N sin 2 π x y = N sin π n x L

Das Betragsquadrat φ x 2 dieser Wellenfunktion gibt die Wahrscheinlichkeit an, das Teilchen am Ort x zu finden. Die Normierungskonstante N wird so gewählt, dass die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen innerhalb des Kastens zu finden, gleich eins ist (da die Wände unendlich hoch sind, kann es nicht außerhalb sein).

λ = h p

Die de Broglie-Beziehung aus Gleichung verbindet nun die Teilchen- und die Welleneigenschaften des Elektrons. Durch Einsetzen von Gleichung ergeben sich die erlaubten Werte für den Impuls des Elektrons:

p = h λ = n h 2 L

Setzen wir nun noch Gleichung in Gleichung ein, so erhalten wir die möglichen Energieniveaus im Kasten:

Ek,n = h 2 2 m λ 2 = n 2 h 2 8 m L 2

Die Energien und Wellenfunktionen des Teilchens im Kasten werden mit dem Index n versehen, der die Quantenzahl für das System „Elektron im Kasten“ darstellt. Die Angabe dieses Parameters genügt, um den energetischen Zustand des Elektrons zu beschreiben. Da die Spinquantenzahl des Elektrons die Werte s = + 1 2 oder s = - 1 2 annehmen kann, darf nach dem Pauli-Prinzip jedes Energieniveau mit maximal 2 Elektronen besetzt werden. Befinden sich im Kasten also 2 j + 6 Elektronen, so stellt das Energieniveau j = 3 das HOMO und das Niveau j = 4 das LUMO dar.

Abb.1

Die erlaubten Energieniveaus und die dazugehörigen Wellenfunktionen eines Teilchens im Kasten. Beachten Sie, dass die Energie proportional zu n 2 anwächst, weshalb der Abstand der Energieniveaus mit steigendem n zunimmt. Jede Wellenfunktion ist eine stehende Welle. Steigt n um 1, dann besitzt die Wellenfunktion eine Halbwelle mehr und eine entsprechend geringere Wellenlänge.

Die erlaubten Energieniveaus des Teilchens im Kasten sind in der oberen Abbildung (Abb. 1) zusammen mit den Wellenfunktionen für n = 1 ... 7 dargestellt. Alle Wellenfunktionen, ausgenommen diejenige mit der niedrigsten Energie bei n = 1 , besitzen sogenannte Knoten oder Nulldurchgänge. Die Anzahl der Knoten der Wellenfunktionen eines Teilchens im Kasten steigt von 0 für n = 1 auf 6 für n = 7 und beträgt allgemein n 1 . Es gehört zu den Charakteristika der Quantenmechanik, dass der niedrigste Energiezustand keine Knoten aufweist und die Zahl der Knoten einer Wellenfunktion mit der Energie wächst (kürzere Wellenlänge bedeutet ja nach Gleichung höhere Energie).

Nullpunktsenergie

Die genauere Betrachtung des energieärmsten Zustandes des Teilchens im Kasten führt uns auf eine weitere Besonderheit der Quantenmechanik. Anders als in der klassischen Mechanik muss auch die niedrigste Energie eines Teilchens von null verschieden sein. Seine kleinstmögliche Energie ist E = n 2 h 2 8 m L 2 für n = 1 . Diese Energie, die dem Teilchen nicht mehr entzogen werden kann, wird Nullpunktsenergie genannt. Sie lässt sich mit der Heisenberg'schen Unschärferelation gut in Einklang bringen: Weil das Teilchen auf einen endlichen Raum beschränkt ist, ist sein Ort nicht völlig unbestimmt. Folglich können auch der Impuls und damit die kinetische Energie keinen exakten Wert besitzen, also auch nicht null sein. Für das Beispiel des Teilchens im Kasten kann diese Energie als ständige Fluktuationsbewegung des Teilchens zwischen den Wänden des Kastens verstanden werden.

Energiedifferenz

Die Energiedifferenz zweier aufeinander folgender Niveaus i und i + 1 beträgt:

Δ E = Ek,i+1 Ek,i = ( 2 i + 1 ) h 2 8 m L 2

Dieser Ausdruck zeigt, dass die Energiedifferenz mit zunehmender Länge des Kastens kleiner wird und ganz verschwindet, wenn die Wände unendlich weit voneinander entfernt sind.

Abb.2

(a)
Ein schmaler Kasten besitzt Energieniveaus mit großen Abständen.
(b)
In einem breiteren Kasten rücken die Energieniveaus näher zusammen. In beiden Fällen werden die Abstände zusätzlich durch die Masse des Teilchens bestimmt.

Applet zum Teilchen im Kasten

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