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Herleitung des Zeitgesetzes

Geschwindigkeitsgesetz:

v = d x d t = k ( a 1 x ) ( a 2 x )

Variablentrennung:

d x ( a 1 x ) ( a 2 x ) = k d t

Partialbruchzerlegung:

1 ( a 1 x ) ( a 2 x ) = A a 1 x + B a 2 x = A ( a 2 x ) + B ( a 1 x ) ( a 1 x ) ( a 2 x )

Rechnung:

A a 2 A x + B a 1 B x = 1 A a 2 + B a 1 ( A + B ) x = 1 { A + B = 0 A a 2 + B a 1 = 1 } A = 1 a 1 a 2 und B = 1 a 1 a 2

oben eingesetzt:

1 ( a 1 a 2 ) ( a 1 x ) + 1 ( a 1 a 2 ) ( a 2 x ) = 1 a 1 a 2 ( 1 a 1 x + 1 a 2 x )

Integration:

1 a 1 a 2 0 x 1 a 1 x + 1 a 2 x = k 0 t d t 1 a 1 a 2 [ ln a 1 a 1 x + ln a 2 a 2 x ] = k t
1 a 1 a 2 ln a 2 ( a 1 x ) a 1 ( a 2 x ) = k t