Beziehungen

Für die Komponenten A, B und C gelten folgende Beziehungen:

$$\frac{\text{d}a}{\text{d}t}=-k_1\cdot a$$

$$\frac{\text{d}b}{\text{d}t}=k_1\cdot a-k_2\cdot b$$

$$\frac{\text{d}c}{\text{d}t}=k_2\cdot b$$

Konzentration von A

Integration von Gl.(1):

$$\frac{\text{d}a}{a}=-k_1\text{d}t$$

$$\underset{a_{\text{0}}}{\overset{a}{\int }}\frac{1}{a}\text{d}a=-\underset{t_0\text{= 0}}{\overset{t}{\int }}{k}_1\text{d}t$$

$$ln\frac{a}{a_0}=-k_1\cdot t$$

$$a=a_0\cdot {\text{e}}^{-k_1\cdot t}$$

Konzentration von B

Gl.(7) in Gl.(2) einsetzen:

$$\frac{\text{d}b}{\text{d}t}=k_1\cdot a_0\cdot {\text{e}}^{-k_1\cdot t}-k_2{b}_{}{}_{}{}_{}{}_{}|+k_{2}b$$

Integration von Gl.(8):

$$\frac{db}{dt}+k_{2}b=k_1\cdot a_0\cdot {\text{e}}^{-k_1\cdot t_{}}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}|\cdot {\text{e}}^{k_{2}t}$$

$${\text{e}}^{k_{2}t}\frac{\text{d}b}{\text{d}t}+k_2\cdot {\text{e}}^{k_{2}t}b=k_1\cdot a_0\cdot {\text{e}}^{\left(k_2-k_1\right)t}$$

$$\frac{\text{d}\left(b\cdot {\text{e}}^{k_{2}t}\right)}{\text{d}t}=k_1\cdot a_0\cdot {\text{e}}^{\left(k_2-k_1\right)t}$$

$$\underset{b_0\cdot {\text{e}}^{k_{2}t}}{\overset{b\cdot {\text{e}}^{k_{2}t}}{\int }}1\text{d}\left(b\cdot {\text{e}}^{k_{2}t}\right)=k_1\cdot a_0\underset{t_0=0}{\overset{t}{\int }}{\text{e}}^{\left(k_2-k_1\right)t}\text{d}t$$

$${\left[b\cdot {\text{e}}^{k_{2}t}\right]}_{b_0\cdot {\text{e}}^{k_{2}t}=0}^{b\cdot {\text{e}}^{k_{2}t}}=k_1\cdot a_0{\left[\frac{1}{k_2-k_1}{\text{e}}^{\left(k_2-k_1\right)t}\right]}_0^t$$

$$b\cdot {\text{e}}^{k_{2}t}=\frac{1}{k_2-k_1}\cdot a_0\left({\text{e}}^{\left(k_2-k_1\right)t}-1\right)$$

$$b=\frac{k_1\cdot a_0}{k_2-k_1}\left({\text{e}}^{-k_{1}t}-{\text{e}}^{-k_{2}t}\right)$$

Konzentration von C

Die Konzentration von C ergibt sich aus der Stöchiometrie der Reaktion.

$$c=a_0-b-c$$

$$c=a_0\cdot \left(1-\frac{k_2\cdot {\text{e}}^{-k_{1}t}-k_1\cdot {\text{e}}^{-k_{2}t}}{k_2-k_1}\right)$$