Anwendung der Binomial-Verteilung beim Ausschütteln

Die mehr symmetrische Verteilung nach dem Schütteln für ein Verteilungsverhältnis $k=1$ und der extrem andere Fall für $k=9$ können durch eine Binomialreihe beschrieben werden. Diese Verteilungsfunktion findet sich auch beim Schüttelvorgang, wie er bei der Craig-Verteilung abgeleitet worden war.

Allgemein ergibt sich die Einzelwahrscheinlichkeit $p$ aus dem Quotienten aus der Anzahl der günstigen zu den ungünstigen Fällen.

Die Fragestellung, die sich in diesem Experiment stellt, lautet: Wie groß wird die Wahrscheinlichkeit nach $n$ Schüttelvorgängen, in einem Trichter $m$ eine bestimmte Menge derjenigen Moleküle zu finden, die in den ersten Trichter eingefüllt worden waren?

Sind $m+1$ Trichter (die Zählung beginnt bei 0) vorhanden, so wird man durch $n$-maliges Schütteln einen Teil der Moleküle bis zum letzten Trichter "transferiert" haben. D.h. die Anzahl der "Experimente" ist um eines weniger als die Anzahl der Trichter. Aus diesem Grunde haben wir vorab die Trichter, beginnend bei 0, durchnummeriert, so dass der letzte die Ordnungsnummer $m=8$ (bei 9 Trichtern) erhält. Es gibt die allgemeine Gleichung für die Binomialreihe ($n$: Anzahl der Schüttelvorgänge; $m$: Trichterordnungsnummer)

$${\left(p+b\right)}^n=\sum _{m=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right)\cdot p^n\cdot b^{n-m}$$

wobei $p$ und $b$ wieder die Einzelwahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse sind. $n$ bezeichnet also jetzt die Ordnungsnummer des "Transfervorganges". Die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten muss 1 sein, also

$$p+b=1$$

Im Fall der Komponente, die in die beiden Phasen gegeben wird, bedeutet $p$ die relative "Menge" von Molekülen in der z.B. oberen und $b$ in der unteren Phase, insgesamt normiert in der Gesamtzahl auf 1. Somit ergibt sich der Verteilungskoeffizient nach

$$k=\frac{b}{p}$$

Somit muss für $k=1$ gelten: $p=0.5$ und $b=0.5$. In den ersten Trichter wurde $c_{\text{B}}(0)$ vorgelegt. Durch die aufgestellte Verteilungsfunktion erhält man nun für den $m$-ten Trichter nach $n$-maligem Schütteln als relative Konzentration bezogen auf den vorgelegten Wert

$$P_{n,m}=\frac{c_{\text{B}}(m)}{c_{\text{B}}(0)}=\left(\begin{array}{c}n\\ m\end{array}\right)\cdot p^m\cdot {\left(1-p\right)}^{n-m}$$

Allgemein ergibt sich die Einzelwahrscheinlichkeit im Fall der Craig-Verteilung für die Phase $\text{α}$:

$$p=\frac{c_{\text{B}}^{\text{α}}}{c_{\text{B}}^{\text{α}}+c_{\text{B}}^{\text{β}}}=\frac{k}{k+1}$$

Um den Trichter $y$ zu finden, der die höchste Konzentration an $c_{\text{B}}$ enthält, betrachtet man den Mittelwert der Verteilungsfunktion $P_{n,m}$. Nach Umformen und über die Binomialentwicklung erhält man den Mittelwert der Verteilungsfunktion

$$y=\mu =n\cdot p{\left[p+\left(1-p\right)\right]}^{n-1}=n\cdot p$$

Dabei ist für $y$ wieder obige Gleichung einzusetzen. Wählt man diese Nummerierung, so erhält man den passenden Zusammenhang für die Beschreibung der Stoffverteilung, wie sie längs der Chromatographiesäule auftritt. Es kann also ein Modell benutzt werden, das der Craig'schen Versuchsanordnung sehr nahe kommt.

Was geschieht nun, falls die Anzahl der Ereignisse größer wird? Dies wird durch die Poisson-Verteilung beschrieben.