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Maßzahlen einer Verteilung

Höhere Momente

Momente sind Teil eines allgemeinen Konzepts zur Kennzeichnung der Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße. Das k-te gewöhnliche Moment m k ( r ) einer diskontinuierlichen Zufallsgröße bezüglich einer reellen Zahl r ist

m k ( r ) = i = 1 ( x i r ) k p ( x i ) x i = Messwerte p ( x i ) = Wahrscheinlichkeitsfunktion

und einer kontinuierlichen Zufallsgröße ist

m k ( r ) = + ( x i r ) k p ( x ) d x p ( x ) = Wahrscheinlichkeitsdichte

Wird r = 0 und k = 1 gesetzt erhält man den Mittelwert oder Erwartungswert einer Stichprobe oder Grundgesamtheit.

Bei zentralen Momenten ist r dem Mittelwert oder Erwartungswert. Mit k = 2   ist dieses zentrale Moment gleich der Varianz oder Dispersion, während das Moment mit k = 1 verschwindet.

Zu den höheren Momenten gehören:

  • die Potenzmomente (gewöhnliche oder zentrale Momente),
  • die Schiefe oder "skewness" (zentrales Moment mit k = 3 ),
  • die Wölbung (zentrales Moment mit k = 4 ),
  • die Steilheit (s. Wölbung),
  • der Exzess oder die "curtosis" (s. Wölbung).

Oft werden Potenzmomente normiert, indem sie durch die k-te Potenz der Standardabweichung geteilt werden. z.B. ist die Schiefe für eine Stichpobe mit gleichwahrscheinlichen Messwerten ein Maß für die Abweichung der Symmetrie der Verteilungsfunktion, wenn mit der Gauß'schen Normalverteilung verglichen wird:

γ = 1 n i = 1 n ( x i x ¯ s ) 3 x ¯ = Mittelwert s = Standardabweichung n = Anzahl Messwerte

Der Schiefekoeffizient γ kann positiv, negativ oder null sein:

γ > 0 rechtsschiefe / linkssteile Verteilungsfunktion mit Maximum  x max < x ¯ γ < 0 linksschiefe / rechtssteile Verteilungsfunktion mit Maximum  x max > x ¯ γ = 0 symmetrische Verteilungsfunktion mit Maximum  x max = x ¯  .

Die Wölbung ist ein Maß für die Steilheit oder Flachheit einer Verteilungskurve. Steile Kurven zeigen eine zum Maximum spitz zulaufende Verteilung, flache Kurven haben ein "breites Maximum". Der Wölbungskoeffizient W ist durch

W = 1 n i = 1 n ( x i x ¯ s ) 4 3

gegeben und kann positiv, negativ oder null sein:

W > 0 spitzgipfelige Verteilungsfunktion (leptokurtisch) W < 0 flachgipfelige Verteilungsfunktion (platykurtisch) W = 0 normalgipfelige Verteilungsfunktion (mesokurtisch).
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