Gauß'sches Fehlerfortpflanzungsgesetz

Die Fehlerfortpflanzung nach Doerffel besteht aus speziellen Fällen der Gauß'schen Fehlerfortpflanzung. Dies soll an einem einfachen Beispiel bei einem Quadrat gezeigt werden.

Die Fläche $F$ einer Tischplatte ergibt sich als $F\left(a,b\right)=a\cdot b$. Sind die Kantenlängen fehlerbehaftet, erhält man $e_a$ und $e_b$ als Fehler. Somit gilt:

$$\begin{array}{rcl}F\left(a,b\right)& =& \left(a\pm e_a\right)\cdot \left(b\pm e_b\right)\\ F\left(a,b\right)& =& a\cdot b\pm a\cdot e_b\pm b\cdot e_a\pm e_a\cdot e_b\end{array}$$

Für den Fehler der Fläche $e_F$ gilt:

$$\begin{array}{rcl}{e}_F& =& \pm a\cdot e_b\pm b\cdot e_a\pm e_a\cdot e_b\\ e_F& =& \pm a\cdot e_b\pm b\cdot e_a\end{array}$$

Beim Fehler in der Fläche kann das Fehlerprodukt $e_a\cdot e_b$ vernachlässigt werden. Ein Fehler in $a$ macht sich desto mehr bemerkbar, je größer der Fehler in $b$ ist und umgekehrt. Ersetzt man nun diese Parameter $a$ und $b$ durch die Ableitungen der Zielgröße, so erhält man:

$$\frac{\partial F\left(a,b\right)}{\partial a}=b\frac{\partial F\left(a,b\right)}{\partial b}=a$$

Einsetzen der Gleichung in die obige Gleichung führt zu:

$$e_F=\pm \frac{\partial F\left(a,b\right)}{\partial a}{e}_a\pm \frac{\partial F\left(a,b\right)}{\partial b}{e}_b$$

Nach dem Quadrieren der Gleichung erhält man:

$$e_F^2={\left(\frac{\partial F\left(a,b\right)}{\partial a}\right)}^2\cdot e_a^2+{\left(\frac{\partial F\left(a,b\right)}{\partial b}\right)}^2\cdot e_b^2+2\cdot \rho \cdot e_a\cdot e_b\frac{\partial F\left(a,b\right)}{\partial a}\frac{\partial F\left(a,b\right)}{\partial b}$$

In der Gleichung beschreibt $\rho$ die Anzahl der gleichsinnigen bzw. gegensinnigen Vorzeichen. Werden $a$ und $b$ völlig unabhängig voneinander bestimmt und wird zwischen beiden kein Zusammenhang bestehen, dann wird $\rho =0$. Sind aber $a$ und $b$ normalverteilte Zufallsvariable, so ist $e_F^2$ eine mittlere quadratische Abweichung, also die Varianz der jeweiligen Stichprobe.

Somit ergibt sich das allgemeine Gauß'sche Fehlerfortpflanzungsgesetz als:

$$\begin{array}{l}var\left(F\left(a,b\right)\right)var\left(F\left(a,b\right)\right)=\\ {\left(\frac{\partial F\left(a,b\right)}{\partial a}\right)}^2\cdot var\left(a\right)+{\left(\frac{\partial F\left(a,b\right)}{\partial b}\right)}^2\cdot var\left(b\right)+2\cdot \rho \cdot \frac{\partial F\left(a,b\right)}{\partial a}\frac{\partial F\left(a,b\right)}{\partial b}\cdot sdv\left(a\right)\cdot sdv\left(b\right)\end{array}$$

Das Produkt $\rho \cdot sdv\left(a\right)\cdot sdv\left(b\right)=cov\left(a,b\right)$ wird auch als Covarianz bezeichnet.

Für eine beliebige Funktion $f\left(p_i\right)$, die von endlich abzählbar vielen Variablen $p_i$ mit $i\in \left\{1,2,3,\dots ,n\right\}$ abhängt, kann verallgemeinert ausgedrückt werden:

$$var\left(f\left(p_i\right)\right)=\sum {\left(\frac{\partial f\left(p_i\right)}{\partial p_i}\right)}^2\cdot var\left(p_i\right)+\sum _{k\ne l}\frac{\partial f\left(p_i\right)}{\partial p_k}\frac{\partial f\left(p_i\right)}{\partial p_l}cov\left(p_k,p_l\right)$$

In einem Spezialfall mit unabhängigen Variablen, der am häufigsten verwendet wird, verschwindet der Covarianzterm und es gilt:

$${\sigma }_{f\left(p_i\right)}=\sqrt{{\left(\frac{\partial f\left(p_i\right)}{\partial p_1}\right)}^2{\sigma }_{p_1}^2+{\left(\frac{\partial f\left(p_i\right)}{\partial p_2}\right)}^2{\sigma }_{p_2}^2+\dots +{\left(\frac{\partial f{p}_i}{\partial p_n}\right)}^2{\sigma }_{p_n}^2}$$

• Nach dieser Formel wird der mittlere Fehler des Ergebnisses aus den mittleren Fehlern der Eingangsdaten ermittelt.
• Beim Beispiel der Fläche $F$ hängen normalerweise die Kanten nicht voneinander ab, so dass keine Covarianz auftritt. Dies wäre anders, wenn z.B. gefordert würde, dass die Gesamtkantenlänge festgelegt ist oder dass es sich um ein Quadrat handeln würde ($a=b$).