Vergleich zweier Mittelwerte (t-Test nach Student)

Beispiel

• Zwei Arbeitsgruppen haben eine Probe vermessen und per Elementaranalyse den Stickstoff-Gehalt bestimmt. Beide Mess-Serien haben drei Freiheitsgrade mit$s_1^2=\mathrm{34,25}$ und$s_2^2=\mathrm{77,66}$
• Dies gibt nach dem F-Test: $F=\mathrm{2,27}$. Die Tabelle ergibt für $a=\mathrm{0,05}$ einen Wert von $\mathrm{9,28}$, also einen wesentlich höheren Wert. Für die beiden Standardabweichungen ist also kein Unterschied nachweisbar. Sie können gepoolt werden.
• Man erhält für $\overline{sdv}\left(x\right)$ einen Wert von $\mathrm{7,48}$ und somit $t=\mathrm{4,03}$.
• Nach der Tabelle ist $t\left(\text{tab.}\right)=\mathrm{3,71}$ für $a=\mathrm{0,01}$ und $f=6$.
• Somit ist zwischen den Mittelwerten ein signifikanter Unterschied nachgewiesen. Bei mindestens einer der beiden Messserien muss ein systematischer Fehler aufgetreten sein.
• Dies kann auch zum Nachweis fehlerhafter Analysenserien herangezogen werden, wenn nicht die beiden Mittelwerte direkt, sondern jeweils einzeln mit einem bekannten oder theoretisch berechneten ${\mu }_0$ verglichen werden.

Beispiel

• $var\left(1\right)=\mathrm{0,01}$ und $var\left(2\right)=\mathrm{0,02}$, $n_1=5$, $n_2=4$. Daraus berechnet sich ein $F=2$. Laut Tabellen ist $F\left(\mathrm{0,05},3,4\right)=\mathrm{6,59}$. Also sind die Varianzen homogen. Man kann sie poolen.
• Wir berechnen somit $\overline{var}\left(x\right)$ zu $\raisebox{1ex}{$\left(\mathrm{0,04}+\mathrm{0,06}\right)$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$7$}\right.=\mathrm{0,014}$. Außerdem ergeben sich die Mittelwerte zu $\mathrm{1,2}$ und $\mathrm{1,3}$. Also ergibt sich: $$t=\frac{\mathrm{0,1}}{\sqrt{\mathrm{0,014}}}\cdot \sqrt{\frac{5+4}{5\cdot 4}}\approx \mathrm{0,845}\cdot \mathrm{0,671}\approx \mathrm{0,567}$$
• Dies ist wesentlich kleiner als das in der Tabelle gefundene $t\left(\mathrm{0,05},7\right)=\mathrm{2,37}$
• Somit stimmen beide Mittelwerte überein.