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Statistische Prüfverfahren

Vergleich zweier Mittelwerte (t-Test nach Student)

  • Vergleich zweier Mittelwerte x a ¯ und x b ¯ aus bzw. n b Datenpunkten bei homogener Varianz. Es soll geprüft werden, ob der Unterschied zwischen den Mittelwerten allein auf einen Zufallsfehler zurückzuführen ist (beide Mittelwerte stammen aus der Grundgesamtheit mit gleichem Mittelwert). Ergibt der Test einen signifikanten Unterschied, so dürfen die beiden Mittelwerte nicht miteinander verglichen werden.
  • Zunächst wird nach der Fehlerfortpflanzung die Standardabweichung der Differenz zweier Mittelwerte mit den Freiheitsgraden f = n 1 + n 2 2 berechnet: s x 1 ¯ x 2 ¯ = s 1 2 n 1 + s 2 2 n 2 = sdv ¯ x n 1 + n 2 n 1 n 2
  • Die Differenzen x a ¯ x b ¯ sind Zufallsgrößen, die bei der meist vorliegenden Anzahl nur weniger Messungen einer t-Verteilung folgen. Sie werden noch mit sdv ¯ x normiert und man erhält: t ˆ = x a ¯ x b ¯ sdv ¯ x n a n b n a + n b
  • Die geprüfte Hypothese m 1 = m 2 = m ist mit α (möglichem Fehler 1. Art) zu verwerfen, wenn berechnetes t ˆ größer als tabellierter t -Wert ist. Dann besteht zwischen den beiden Mittelwerten ein signifikanter Unterschied.
  • Die Differenz zwischen den beiden Mittelwerten gilt als nicht beweiskräftig, falls t ber. < t tab. ausfällt. Wenn gilt t > t α 2 f , so sind die Mittelwerte innerhalb der gegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit verschieden.
  • Voraussetzung ist allerdings für die Berechnung, dass beide Standardabweichungen keinen Unterschied aufweisen, sonst kann man sie nicht "poolen". Es muss also immer ein F-Test vorangestellt werden.
  • Gepoolte Varianz: var ¯ x = n a 1 var x a ¯ + n b 1 var x b ¯ n a + n b 2
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