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Statistische Prüfverfahren

t-Verteilung

Die t-Verteilung ist ein theoretisches Verteilungsmodell für eine kontinuierliche Zufallsvariable. Die Gauß'sche Normalverteilung gilt nur für eine große Anzahl von Daten (Anzahl Messwerte > 30), ansonsten muss korrigiert werden. Diese Unsicherheit wird in der Statistik durch eine modifizierte symmetrische Verteilung (t-Verteilung) berücksichtigt. Erst für hohe Freiheitsgrade geht die t-Verteilung in die Normalverteilung über. Da die meisten Stichproben aus wenigen Messwerten bestehen, steht in allen Formeln zum Vertrauensbereich usw. der t-Faktor in den Formeln, der ein Quotient aus dem Fehler | x ¯ μ | des Mittelwerts und dem Standardfehler s x ¯ des Mittelwerts ist.

Transformationsgleichung:

k = | x ¯ μ | s x ¯ = | x ¯ μ | sdv n
Legende
k-k-Faktor
x ¯ -Mittelwert der Stichprobe
μ-Mittelwert der Grundgesamtheit (Referenzwert)

Normalverteilung:

α Tab = α = ϕ ( k α ) α Tab = α 2 = ϕ ( k α / 2 )
Legende
α-Irrtumswahrscheinlichkeit
α Tab -Tabellenwert

Transformationsgleichung:

t = | x ¯ μ | s x ¯ = | x ¯ μ | s d v n
Legende
t-t-Faktor

t-Verteilung:

α Tab = α = φ ( t α , f ) α Tab = α 2 = φ ( t α / 2 , f )
Legende
f-Freiheitsgrad

Je nachdem ob ein- oder zweiseitig getestet wird, verteilt sich die gewählte Irrtumswahrscheinlichkeit auf ein oder zwei Flächen, d.h. es muss ev. durch zwei geteilt werden.

Die t -Verteilung hängt von der Anzahl der Freiheitsgrade ab (Anzahl Messwerte). Je weniger Freiheitsgrade vorliegen, desto mehr entfernen sich die Integralgrenzen bei vorgegebener Wahrscheinlichkeit und festgelegter Standardabweichung vom Mittelwert, so dass bei zweiseitigem Test das Intervall breiter ist als bei einer Normalverteilung. z.B. ist bei einer statistischen Sicherheit von P = 1 α = 0,95 oder 95 % der k-Wert 1,96 (Tabelle Normalverteilung α Tab = 0,05 2 = ϕ ( k α / 2 = 1,96 ) .

Bei 5 Freiheitsgraden erhält man für die t -Verteilung α Tab = 0,05 2 = φ ( t α / 2 = 2,57 ; f = 5 ) und α Tab = 0,01 2 = φ ( t α / 2 = 4,03 ; f = 5 ) .

Bei 120 Freiheitsgraden erhält man schon α Tab = 0,05 2 = φ ( t α / 2 = 1,98 ; f = 120 ) und α Tab = 0,01 2 = φ ( t α / 2 = 2,62 ; f = 120 ) .

Der t-Faktor wird auch Student-Faktor genannt, er wurde von W. S. Gosset eingeführt. Als Brauer von Beruf wählte er das Pseudonym Student.

Nachfolgend sind einige Eigenschaften der t-Verteilung angegeben:

  • Die Zahl der Freiheitsgrade ist: n .
  • Die Varianz ergibt sich zu: n n 2 (für n 3 ).
  • Der Erwartungswert ist: 0 (für n 2 ).
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