Statistische Sicherheit

• Zur Beschreibung von Stichproben und Grundgesamtheiten verwendet man die Begriffe Kennzahl (Maßzahl, Schätzer) und Parameter. Bei verschiedenen Stichproben werden die ermittelten Kennzahlen von Stichprobe zu Stichprobe variieren. Daher ist die aus einer Stichprobe ermittelte Kennzahl nur ein Schätzwert. Zu diesem läßt sich ein Intervall (Vertrauensbereich) angeben, das vermutlich auch den Parameter der Grundgesamtheit enthält. Durch Veränderung dieses Intervalls durch einen Faktor lässt sich eine Sicherheit angeben, dass das Vertrauensintervall den Parameter der Grundgesamtheit $\mu$ enthält. Wählt man den Faktor so, dass aufgrund des Zufallsgesetzes die Aussage in $95\text{ \%}$ aller gleichartigen Fälle zu Recht und in $5\text{ \% }$aller gleichartigen Fälle zu Unrecht besteht, so spricht man von einer statistischen Sicherheit $S$ von $95\text{ \%}$.
• In $5\text{ \% }$der Fälle wird also die Behauptung falsch sein. Der Faktor wird also so gewählt, dass die Wahrscheinlichkeit für den Irrtum klein ist ($\alpha =\mathrm{0,05}$). Dieses $\alpha$bezeichnet man als Irrtumswahrscheinlichkeit. In der folgenden Tabelle sind statistische Sicherheit, Irrtumswahrscheinlichkeit und die Standardabweichung korreliert.$$\begin{array}{l}S=1-\alpha =P\left(\overline{x}-z\frac{s}{\sqrt{n}}\le \mu \le \overline{x}+z\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\\ \text{Vertrauensbereich}=2z\frac{s}{\sqrt{n}}\text{Vertrauensintervall}=[\overline{x}-z\frac{s}{\sqrt{n}},\overline{x}+z\frac{s}{\sqrt{n}}]\end{array}$$Dabei gilt Gleichung mit dem Wert $z$, der der Tabelle der Normalverteilung (Gauß-Verteilung) entnommen wird, und $s$ als Standardabweichung, die aus sehr vielen Stichprobenwerten berechnet wurde, deren $n$ hat nichts mit dem $\sqrt{n}$ zu tun, mit dem der Mittelwert der Stichprobe $\overline{x}$ abgeschätzt wird.
• Je größer $S$ ist, desto größer wird bei gegebenem $s$ und Stichprobenumfang $n$der Vertrauensbereich sein. Somit besteht ein Gegensatz zwischen Schärfe einer Aussage und der Sicherheit, die dieser Aussage zukommt:
• Sichere Aussagen sind unscharf, scharfe Aussagen sind unsicher.
• Für besondere Fälle (z.B. wenn ein Menschenleben auf dem Spiel steht) muss eine kleinere Irrtumswahrscheinlichkeit vorgegeben werden.
• Sind dagegen die Parameter einer Grundgesamtheit bekannt, so kann die Frage auftreten, in welchem Bereich die Maßzahlen von Stichproben liegen werden (z.B. Mittelwerte $\overline{x}$). Man bestimmt daher um den theoretischen Wert des Parameters ein Toleranzintervall, innerhalb dessen die Maßzahlen mit entsprechender Wahrscheinlichkeit zu erwarten sind.
• Manchmal ist statt des Toleranzintervalls nur eine Toleranzgrenze von Interesse, wenn z.B. ein bestimmter Sollwert (Mittelwert einer Fertigung) nicht unter- bzw. überschritten werden soll.