Statistische Prüfverfahren
Statistische Sicherheit
- Zur Beschreibung von Stichproben und
Grundgesamtheiten verwendet man die
Begriffe Kennzahl (Maßzahl, Schätzer) und Parameter. Bei verschiedenen Stichproben
werden die ermittelten Kennzahlen von Stichprobe zu Stichprobe variieren. Daher ist
die aus einer Stichprobe ermittelte Kennzahl nur ein Schätzwert. Zu diesem läßt sich
ein Intervall (Vertrauensbereich) angeben, das vermutlich auch den Parameter der
Grundgesamtheit enthält. Durch Veränderung dieses Intervalls durch einen Faktor
lässt sich eine Sicherheit angeben, dass das Vertrauensintervall den Parameter der
Grundgesamtheit enthält. Wählt man den Faktor so, dass aufgrund des Zufallsgesetzes die
Aussage in aller gleichartigen Fälle zu Recht und in aller gleichartigen Fälle zu Unrecht besteht, so spricht man von einer
statistischen Sicherheit von .
- In der Fälle wird also die Behauptung falsch sein. Der Faktor wird also so
gewählt, dass die Wahrscheinlichkeit für den Irrtum klein ist (). Dieses bezeichnet man als Irrtumswahrscheinlichkeit. In der folgenden Tabelle
sind statistische Sicherheit, Irrtumswahrscheinlichkeit
und die Standardabweichung korreliert.Dabei gilt Gleichung mit dem Wert , der der Tabelle der Normalverteilung (Gauß-Verteilung) entnommen wird, und als Standardabweichung, die
aus sehr vielen Stichprobenwerten berechnet wurde, deren hat nichts mit dem zu tun, mit dem der Mittelwert der Stichprobe abgeschätzt wird.
- Je größer ist, desto größer wird bei gegebenem und Stichprobenumfang der Vertrauensbereich sein. Somit besteht ein Gegensatz zwischen Schärfe
einer Aussage und der Sicherheit, die dieser Aussage zukommt:
-
Sichere Aussagen sind unscharf, scharfe Aussagen sind
unsicher.
- Für besondere Fälle (z.B. wenn ein Menschenleben auf dem Spiel steht) muss
eine kleinere Irrtumswahrscheinlichkeit vorgegeben werden.
- Sind dagegen die Parameter einer Grundgesamtheit bekannt, so kann die Frage
auftreten, in welchem Bereich die Maßzahlen von Stichproben liegen werden (z.B.
Mittelwerte ). Man bestimmt daher um den theoretischen Wert des Parameters ein
Toleranzintervall, innerhalb dessen die Maßzahlen mit entsprechender
Wahrscheinlichkeit zu erwarten sind.
- Manchmal ist statt des Toleranzintervalls nur eine Toleranzgrenze von
Interesse, wenn z.B. ein bestimmter Sollwert (Mittelwert einer Fertigung) nicht
unter- bzw. überschritten werden soll.
- Tab.1
- Statistische Sicherheit in Abhängigkeit vom gewählten Vertrauensbereich
Vertrauensbereich für den Mittelwert einer normalverteilten Grundgesamtheit | Statistische Sicherheit | Irrtumswahrscheinlichkeit |
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