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Statistische Prüfverfahren

Risiko I und Risiko II oder Fehler 1. und 2. Art

Beim Prüfen von Hypothesen sind zwei Fehlentscheidungen möglich:

Fehler 1. Art
Eine Hypothese wird verworfen, obwohl sie richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit, einen solchen Fehler zu begehen, bezeichnet man mit α . Sie heißt die Signifikanzzahl des Testes: Unberechtigte Ablehnung der Nullhypothese.
Fehler 2. Art
Eine Hypothese wird angenommen, obwohl sie falsch ist. Die Wahrscheinlichkeit wird mit β bezeichnet. Die Differenz 1 β   ist die Wahrscheinlichkeit, einen solchen Fehler zu vermeiden und wird auch als die Macht des Testes bezeichnet: Unberechtigtes Beibehalten der Nullhypothese.

Die Wirklichkeit zeigt sich unter zwei Aspekten:

  1. Nullhypothese ist wahr.
  2. Nullhypothese ist falsch.

Der Test kann auch zu zwei Fehlentscheidungen führen:

  1. Nullhypothese ist abzulehnen.
  2. Nullhypothese ist beizubehalten.
Tab.1
Möglichkeiten der Entscheidung
Entscheidung des TestesWirklichkeit: Nullhypothese wahrWirklichkeit: Nullhypothese falsch
Nullhypothese abgelehntFehler 1. Artrichtige Entscheidung
Nullhypothese beibehaltenrichtige EntscheidungFehler 2. Art

Wird festgestellt, dass ein neues Medikament besser ist, obwohl es in Wirklichkeit mit dem alten gleichwertig ist, so liegt ein Fehler 1. Art vor. Stellt sich heraus, dass beide gleichwertig sind, obwohl tatsächlich in der Wirklichkeit das neue besser ist, so handelt es sich um einen Fehler 2. Art. Diese beiden Fehlentscheidungen bezeichnet man als Risiko I (kleine Wahrscheinlichkeit, eine gültige Nullhypothese abzulehnen, ist gleich der Irrtumswahrscheinlichkeit α ) und Risiko II (kleine Wahrscheinlichkeit, eine falsche Nullhypothese beizubehalten, wird mit β bezeichnet). Da α   größer Null sein muss, besteht immer ein Fehlerrisiko. Bei vorgegebener Messwertanzahl n einer Stichprobe und α wird β umso größer, je kleiner das vorgegebene α ist. Dabei ist zu merken:

  1. Bei sehr kleinem α und sehr kleinem β kann man eine Entscheidung nur bei sehr großen Stichprobenumfängen n erhalten.
  2. Bei kleinen Stichprobenumfängen und kleinem α   ist die Möglichkeit, tatsächlich vorhandene Unterschiede nachzuweisen, sehr gering. Berechnet man keinen signifikanten Unterschied, so ist dies mit Vorsicht zu genießen.

Sind die Folgen einer Fehlentscheidung bei einem Risiko I (Fehler 1. Art: α ) schwerwiegender, so wird man α wesentlich kleiner als β wählen (und bei Risiko II umgekehrt).

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