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Statistische Prüfverfahren

Einfache ANOVA (Beispiele)

In dem folgenden Beispiel können durchaus ungleiche Stichprobenumfänge Rj je Gruppe Mj vorliegen.

Ungleiche Stichprobenumfänge

Tab.1
123
1348
2724
376
43
S G = j χ i j 101618 i j χ i j = 44 = S T
R j 246 R j = n = 9
E ˆ j ( χ ) = 1 R j i χ i j 546 S S T = 252 E ˆ ( χ ) = 44 / 9 = 4,889
F ˆ = 1 M 1 [ j S S j R j S S T j R j ] 1 R M M [ S S T j S S j R j ]
S S j = i χ i j
F ˆ = 1 3 1 [ ( 10 2 2 + 16 2 4 + 18 2 3 ) 44 9 ] 1 9 3 [ ( 3 2 + 7 2 + 4 2 + 2 2 + 7 2 + 3 2 + 4 2 + 6 2 ) ( 10 2 2 + 16 2 4 + 18 2 3 ) ] = 1 2 6,89 1 6 30 = 0,689

nach F-Tabelle für F(2;6;0,05) = 5,14, also alle 3 Stichprobensummen derselben Grundgesamtheit.

Gleiche Stichprobenumfänge

Tab.2
123
1657
2768
3645
4558
24202872
44412
657 S S T = 450 E ˆ ( χ ) = 6
F ˆ = 1 3 1 [ 1 4 ( 24 2 + 20 2 + 28 2 ) 72 2 12 ] 1 12 3 [ ( 6 2 + + 8 2 ) 1 4 ( 24 2 + 20 2 + 28 2 ) ] = 1 2 8 1 9 10 = 3,60

F(2;9;0,05) = 4,26: Also Nullhypothese ebenfalls nicht abzulehnen.

Nach vorher gegebenem Schema für gleiche Stichprobenumfänge:

F ˆ = S S F f F S S r e s f res
S S F = j M R j E ˆ j ( χ ) 2 E ˆ ( χ ) 2 j M R j = R j M E ˆ j ( χ ) 2 M R E ˆ ( χ ) 2 = ( 2 5 2 + 4 4 2 + 3 6 2 ) 9 ( 44 9 ) 2 = 222 215,12 = 6,880
f F = M 1 = 2
S S res = S S T j R j E ˆ j ( χ ) 2 = 252 ( 2 5 2 + 4 4 2 + 3 6 2 ) = 30
f res = R M M j R j M = 6
F ˆ = 6,88 2 30 6 = 0,688
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