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Multivariate Datenanalyse - Multiple Lineare Regression

Mathematik der MLR

Für jede y -Variable (Analyt) wird eine Lineare Regression mit den Regressionskoeffizienten b und den Fehlern e durchgeführt:

y 1 = b 1 1 x 1 + b 1 2 x 2 + b 1 3 x 3 + + b 1 w x w + e 1 y 2 = b 2 1 x 1 + b 2 2 x 2 + b 2 3 x 3 + + b 2 w x w + e 2 y c = b c 1 x 1 + b c 2 x 2 + b c 3 x 3 + + b c w x w + e c

In Matrizenschreibweise ergibt sich folgende Gleichung:

Y = B X + E

Die Regressionskoeffizienten können über eine Minimalisierung der Fehler und Umformung der so erhaltenen Normalgleichung durch Matrizeninversion abgeschätzt werden:

B ˆ = X T X 1 X T y

Für die Inversion der Varianz-Kovarianz-Matrix werden mindestens genauso viele Sensoren benötigt, wie Analyte zu quantifizieren sind. Zugleich stellt die Inversion mehrere Probleme für die Mathematik dar. Wenn die verschiedenen Sensorantworten ein kollineares Verhalten zeigen oder allgemein, wenn die Variablen in hohem Maße korreliert sind, ist die resultierende Varianz-Kovarianz-Matrix schlecht konditioniert, was zu unzuverlässigen und instabilen Kalibrierungsmodellen führt.

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