Goodness of Fit

Eine bessere Aussage liefert das sogenannte Goodness of FIT (GOF, Güte der Anpassung eines statistischen Modells für eine Messwertmenge), denn es gibt das Verhältnis zweier quadratischer Summen

$S{S}_{mod}=m^{T}m={(\widehat{y}-\overline{y})}^T(\widehat{y}-\overline{y})={\left(\left(\begin{array}{c}\mathrm{2,5}\\ \mathrm{10,5}\\ \mathrm{6,5}\\ \mathrm{6,5}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}\mathrm{6,5}\\ \mathrm{6,5}\\ \mathrm{6,5}\\ \mathrm{6,5}\end{array}\right)\right)}^T\left(\left(\begin{array}{c}\mathrm{2,5}\\ \mathrm{10,5}\\ \mathrm{6,5}\\ \mathrm{6,5}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}\mathrm{6,5}\\ \mathrm{6,5}\\ \mathrm{6,5}\\ \mathrm{6,5}\end{array}\right)\right)=\mathrm{32,0}$

und

$S{S}_{res}=r^{T}r={(y-\widehat{y})}^T(y-\widehat{y})={\left(\left(\begin{array}{c}\mathrm{2,0}\\ \mathrm{10,0}\\ \mathrm{6,0}\\ \mathrm{8,0}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}\mathrm{2,5}\\ \mathrm{10,5}\\ \mathrm{6,5}\\ \mathrm{6,5}\end{array}\right)\right)}^T\left(\left(\begin{array}{c}\mathrm{2,0}\\ \mathrm{10,0}\\ \mathrm{6,0}\\ \mathrm{8,0}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}\mathrm{2,5}\\ \mathrm{10,5}\\ \mathrm{6,5}\\ \mathrm{6,5}\end{array}\right)\right)=\mathrm{3,0}$

an (siehe Seite vorher Varianzananalyse). Das GOF bleibt somit in einer ANOVA-Ebene, da beide Quadratsummen sich aus

$S{S}_{\mathrm{corr}}=c^{T}c=y-\overline{y}=S{S}_{\mathrm{res}}+S{S}_{\mathrm{mod}}$

ergeben. Für das oben gewählte Beispiel wird nach dem Fisher-Test das Verhältnis

${\widehat{F}}_{\mathrm{1,2}}=\frac{S{S}_{mod}/(p-1)}{S{S}_{res}/(n-p)}=\frac{32/1}{3/2}=\mathrm{21,31}\begin{array}{l}p=2=\text{Anzahl Replikationen}\\ n=4=\text{Anzahl Messpunkte}\end{array}$

berechnet. Aus der F-Tabelle entnimmt man dagegen

$F(f_Z,f_N,\alpha )=F(1;2;\mathrm{0,05})=\mathrm{18,51}\begin{array}{l}{f}_Z=\text{Freiheitsgrad der Varianz im Zähler}\\ f_N=\text{Freiheitsgrad der Varianz im Nenner}\end{array}$

Somit ist der berechnete Wert größer als der kritische Tabellenwert. Daher muss die Modellvarianz größer sein als die Residuenvarianz und es liegt kein systematischer Fehler vor. Die Nullhypothese, dass Streuungen in den Residuen größer oder gleich denen des Modells sind, stimmt nicht.