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Filtern, Glätten und Datentransformation

Polynomglättung

Die bekannteste Glättung ist die Polynomglättung nach Savitzky und Golay. Durch die Verwendung von Filterkoeffizienten werden die Daten gewichtet. Es wird ein quadratisches bzw. kubisches Polynom angenommen. Statt mit gleitenden Mittelwerten wird mit der folgenden Gleichung gearbeitet, wobei man unter f Norm einen Normalisierungsfaktor versteht, der sich aus der Summe der Koeffizienten C j ergibt.

y k * = 1 f Norm j = m m C j y k + j

Diese Koeffizienten sind in der Tabelle "Savitzky-Golay-Filter-Koeffizienten" tabelliert, wobei m die Variable zur Festlegung der Filterbreite ist. Die Anzahl der Messwerte, über die geglättet wird, beträgt 2 m + 1 .

Savitzky-Golay-Filter-Koeffizienten

Beispiel

Hat man beispielsweise elf Datenpunkte in einer Messreihe, so sind fünf Stützpunkte sinnvoll ( m = 2 ).

Dieses Beispiel wird im Folgenden durchgerechnet.

Tab.1
Datenpunkte für Savitzky-Golay
Datenpunkte k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Signalwert y k 0,11 0,52 0,49 0,41 0,30 0,27 0,16 0,15 0,12 0,08 0,02

Somit ergibt sich für den k -ten Datenpunkt:

y k * = 3 35 y k 2 + 12 35 y k 1 + 17 35 y k + 12 35 y k + 1 3 35 y k + 2

Für den ersten für eine Glättung möglichen Datenpunkt k = 3 ergibt sich die folgende Korrektur:

y 3 * = 3 35 y 1 + 12 35 y 2 + 17 35 y 3 + 12 35 y 4 3 35 y 5 = 3 35 0,11 + 12 35 0,52 + 17 35 0,49 + 12 35 0,41 3 35 0,30 0,52

So können durch Verschieben des Filters alle Datenpunkte neu berechnet werden.

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