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Interpolierende Splines

Splinefunktionen stellen einen Mittelweg zwischen einem Polygonzug und Interpolationspolynomen höherer Ordnung dar. Vorteilhaft ist ihre Differenzierbarkeit im gesamten Messintervall.

Zur Konstruktion eines interpolierenden Splines (Splines nennt man auch die gebogenen Planken eines Bootrumpfes) unterteilt man die Messkurve in mehrere Bereiche, die man durch Stützstellen begrenzt. Die Stützpunkte können mit den Werten der Variablenachse identisch sein.

Man definiert mehrere Bedingungen:

  • Der Spline S x ist interpolierend und somit der gemessene Wert y k an den Stützstellen k = 1 n gleich dem Wert des Splines S x k .
  • S x ist in den Stützstellen zweifach stetig differenzierbar.
  • S x ist in den betrachteten Unterbereichen eine kubische Parabel.

Es gilt mit den Splinekoeffizienten an den Datenpunkten:

y = A k x x k 3 + B k x x k 2 + C k x x k + D k

Es ergibt sich:

y k = D k y k + 1 = A k x x k 3 + B k x x k 2 + C k x x k y k ' = C k y k + 1 ' = 3 A k x x k 2 + 2 B k x x k + C k y k '' = 2 B k y k + 1 '' = 6 A k x x k + 2 B k

So lassen sich die Koeffizienten bestimmen und man kann zusätzliche Daten gewinnen.

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