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Filtern, Glätten und Datentransformation

Faltung und Entfaltung

Transformationen lassen sich auch vorteilhaft zur Restaurierung eines Signals, das durch eine Gerätefunktion verfälscht wird, oder bei überlagerten Signalen einsetzen.

Typisches Beispiel ist die Spaltfunktion eines Monochromators. Sie kann bei gleich offenem Eintritts- und Austrittsspalt als Dreiecksfunktion angenommen werden. Die Faltung der Störfunktion h t mit dem ungestörten Signal f t liefert die beobachtete Funktion g t , die im Frequenzraum einem einfachen Skalarprodukt der FT-Funktionen entspricht.

g t = f t h t

Um das ungestörte Signal f t zu erhalten, wird nach F ν aufgelöst und anschließend in die Zeitdomäne zurücktransformiert.

Die Analogie zur Filterung ist deutlich. Dort wird H ν als einfache Treppenfunktion gewählt. Bei der Entfaltung muss man aber unterschiedliche Formen testen, so z.B. Trapez-, Dreiecks-, Bessel-, Cosinus- oder Gaussfunktionen.

Probleme

Bei verrauschten Signalen benötigt man einen zusätzlichen Rauschterm R ν . Dadurch ist die entfaltete Funktion nicht unbedingt das ungestörte Signal, sondern enthält einen unerwünschten Rauschanteil.

Ein weiteres Problem ist die endliche Anzahl von Datenpunkten, so dass mit Apodisationsfunktionen gearbeitet werden muss.

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