Die Schrödinger-Gleichung

Die Schrödinger-Gleichung ist eine der zentralen Gleichungen der Quantenmechanik und beschreibt die zeitliche Entwicklung oder die Dynamik eines quantenmechanischen Systems. Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung ist:

$$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\Delta \psi +V\psi =H\psi \begin{array}{l}i\text{ = imaginäre Zahl}\\ \psi \text{ = Wellenfunktion}\\ t\text{ = Zeit}\\ \hslash \text{ = Planck'sches Wirkungsquantum/}2\pi \\ m\text{ = Masse}\\ \Delta \text{ = LaPlace-Operator}\\ V\text{ = Operator der potenziellen Energie}\end{array}$$

Mit dem Separationsansatz

$$\psi =\psi (x)\psi (t)=\psi (x)\cdot e^{-i\frac{E}{\hslash }t}\begin{array}{l}E\text{ = Energie}\\ x\text{ = Ortskoordinate}\end{array}$$

kann obige Gleichung in einen zeitabhängigen und einen zeitunabhängigen Anteil aufgespalten werden:

$$\begin{array}{l}i\hslash \frac{\partial \psi (t)}{\partial t}=E\psi (t)\\ H\psi (x)=E\psi (x)H=(-\frac{{\hslash }^2}{2m}\Delta +V)\end{array}$$

Der Operator der Gesamtenergie $H$ wird auch als Hamilton-Operator bezeichnet.

Für das System des Wasserstoffatoms ist die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung exakt lösbar. Diese Lösungen führen zu den Orbitalen (stationärer Zustand).